Sejam A=(xA, yA) e B=(xB, yB) dois pontos distintos. Mostre que os pontos que equidistam de A e B determinam uma reta - denominada mediatriz do segmento A B. Determine características da mediatriz do segemento A B em função de A e B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que todos os pontos que ficam na mesma distância dos pontos e formam uma reta chamada mediatriz do segmento . Basicamente, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a fórmula da distância entre dois pontos, para provar isso e encontrar as características dessa mediatriz em função de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que um ponto d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 está equidistante de raiz(x - xA)^2 + (y - yA)^2 = raiz(x - xB)^2 + (y - yB)^2 e . Isso quer dizer que a distância de até é igual à distância de até . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Então, temos que:

Passo 3

Para simplificar essa equação, vamos eliminar as raízes quadradas. Podemos fazer isso elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - xA)^2 + (y - yA)^2 = (x - xB)^2 + (y - yB)^2

Passo 4

Agora, vamos expandir os quadrados:
(x^2 - 2x xA + xA^2) + (y^2 - 2y yA + yA^2) = (x^2 - 2x xB + xB^2) + (y^2 - 2y yB + yB^2)
Perceba que -2x xA + xA^2 - 2y yA + yA^2 = -2x xB + xB^2 - 2y yB + yB^2 e aparecem dos dois lados e se cancelam:

Passo 5

Vamos reorganizar os termos para isolar -2x xA + 2x xB - 2y yA + 2y yB = xB^2 - xA^2 + yB^2 - yA^2 e 2x(xB - xA) + 2y(yB - yA) = xB^2 - xA^2 + yB^2 - yA^2 :
x(xB - xA) + y(yB - yA) = xB^2 - xA^2 + yB^2 - yA^22
Podemos fatorar e :
Dividindo tudo por 2 para simplificar:

Passo 6

Essa equação representa uma reta no plano cartesiano. Para entender melhor as características dessa mediatriz, vamos analisar:
  1. Coeficientes da reta: A equação está na forma m = -AB = -xB - xAyB - yA , onde:
    • M = ( xA + xB2, yA + yB2 )
  2. Inclinação da reta: A inclinação da mediatriz é dada por:
Isso mostra que a mediatriz é perpendicular ao segmento (porque a inclinação do segmento seria , e o produto das inclinações de duas retas perpendiculares é -1).
  1. Ponto médio de : A mediatriz passa pelo ponto médio de , que é:

Resposta

Assim, mostramos que os pontos que equidistam de (xB - xA)x + (yB - yA)y = xB^2 - xA^2 + yB^2 - yA^22 e m = -xB - xAyB - yA formam uma reta chamada mediatriz do segmento M = ( xA + xB2, yA + yB2 ) . As características dessa mediatriz são:
  • Equação da mediatriz:
  • Inclinação:
  • Passa pelo ponto médio de :

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