Sejam e dois pontos distintos. Mostre que os pontos que equidistam de e determinam uma reta - denominada mediatriz do segmento . Determine características da mediatriz do segemento A B em função de A e B.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que todos os pontos que ficam na mesma distância dos pontos e formam uma reta chamada mediatriz do segmento . Basicamente, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a fórmula da distância entre dois pontos, para provar isso e encontrar as características dessa mediatriz em função de e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que um ponto d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 está equidistante de raiz(x - xA)^2 + (y - yA)^2 = raiz(x - xB)^2 + (y - yB)^2 e . Isso quer dizer que a distância de até é igual à distância de até . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Então, temos que:
Passo 3
Para simplificar essa equação, vamos eliminar as raízes quadradas. Podemos fazer isso elevando ambos os lados ao quadrado:
Essa equação representa uma reta no plano cartesiano. Para entender melhor as características dessa mediatriz, vamos analisar:
Coeficientes da reta: A equação está na forma m = -AB = -xB - xAyB - yA , onde:
M = ( xA + xB2, yA + yB2 )
Inclinação da reta: A inclinação da mediatriz é dada por:
Isso mostra que a mediatriz é perpendicular ao segmento (porque a inclinação do segmento seria , e o produto das inclinações de duas retas perpendiculares é -1).
Ponto médio de : A mediatriz passa pelo ponto médio de , que é:
Resposta
Assim, mostramos que os pontos que equidistam de (xB - xA)x + (yB - yA)y = xB^2 - xA^2 + yB^2 - yA^22 e m = -xB - xAyB - yA formam uma reta chamada mediatriz do segmento M = ( xA + xB2, yA + yB2 ) . As características dessa mediatriz são: