Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
v)
;
v)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as soluções gerais de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem e depois verificar essas soluções. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de equações exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos reescrever a equação na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Passo 5
Como:
A equação é exata! Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 6
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece pela integração.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Simplificando:
Passo 8
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Substituindo
de volta em
:
Para simplificar, podemos multiplicar por 2:
Onde
é uma nova constante.
Passo 10
Finalmente, a solução geral da EDO é:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
d) ;
d)
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
c) ;
c)
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
e) ;
e)
Se
e
, determine
(b)
(b)