Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
d) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função é uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por . Aqui, é uma constante arbitrária real. Para resolver isso, precisamos calcular a derivada de , substituir e sua derivada na EDO e ver se a equação é satisfeita. Vamos precisar usar conceitos básicos de derivadas e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada da função seno é o cosseno, então:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na EDO :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Sabemos que , então substituindo:
As se cancela:

Passo 5

Simplificando ainda mais:
Isso significa que a equação é satisfeita para qualquer valor de onde as funções estão definidas.

Resposta

Sim, a função é uma solução geral da EDO , pois ao substituir na equação, a igualdade é satisfeita para qualquer constante .

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c) ;
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b) ;
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
v) ;
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
e) ;