Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
c)
;
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
. Isso significa que vamos encontrar uma função
que satisfaz essa equação. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis, que nos permite reorganizar a equação para integrar os termos de cada variável separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para separar os termos com
e os termos com
. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é que se a derivada de uma função em relação a
é igual a outra expressão, então podemos integrar para encontrar a função original.
Integrando o lado esquerdo em relação a
:
E integrando o lado direito em relação a
:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Agora, igualamos as duas expressões obtidas das integrações:
Podemos simplificar isso agrupando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 5
Para encontrar a solução geral da EDO, isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde
é uma nova constante. Finalmente, tiramos a raiz quadrada:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
b) ;
b)
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
f) ;
f)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
m) ;
m)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
q) ;
q)