Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
m)
;
m)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração por partes. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar as variáveis
e
separadas. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Agora, temos as variáveis separadas: tudo com
de um lado e tudo com
do outro.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Começamos com o lado esquerdo. Para integrar
, usamos integração por partes.
Integração por partes: Se tivermos
.
Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando:
Integrando
:
Então, o lado esquerdo fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar o lado direito:
Expandimos o numerador:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, igualamos as duas integrais:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO é dada implicitamente por:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
c) ;
c)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
b) ;
b)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
q) ;
q)
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
g) ;
g)