Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
u)
;
u)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
. Nosso objetivo é encontrar todas as soluções dessa equação e depois verificar se elas realmente funcionam. Para resolver isso, vamos precisar usar o método das equações lineares da primeira ordem e entender um pouquinho sobre fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação com
isolado. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Isso simplifica para:
Agora, nossa equação está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Onde:
Passo 3
Como
, essa é uma equação linear homogênea. Para resolver, vamos usar o fator integrante. Primeiro, encontramos o integrando:
Vamos calcular a integral:
Então, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com
, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos a EDO original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, isolamos
para encontrar a solução geral:
Então, a solução geral da EDO é:
Passo 6
Vamos verificar se nossa solução está correta substituindo
e
de volta na equação original.
Primeiro, calculamos
:
Usando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Então,
Agora, substituímos
e
na EDO original:
Substituindo:
Simplificando ambos os lados:
Os dois lados são iguais, o que confirma que nossa solução está correta.
Resposta
A solução geral da EDO é
, onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
A função custo marginal é dada por
, e o custo geral é
. Ache a função custo total.
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
t) ;
t)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
b) ;
b)
A função custo marginal
é dada por
quando
é o custo total da produção de
unidades. Se o custo da produção de 5 unidades for
, ache a função custo total.