Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
b)
;
b)
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de 1ª ordem dada por:
Para resolver essa EDO, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e substituição. Essas ferramentas nos ajudarão a reorganizar a equação de forma a encontrar a solução geral para
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais simples. Começamos isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Observamos que a equação resultante é não-linear devido ao termo
. Para simplificar, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Dessa forma, podemos expressar
como:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Rearranjamos a equação para separar as variáveis
e
:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, separamos as variáveis
e
:
Passo 6
Integrando ambos os lados da equação:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
u) ;
u)
A função custo marginal é dada por
, e o custo geral é
. Ache a função custo total.
A função custo marginal
é dada por
quando
é o custo total da produção de
unidades. Se o custo da produção de 5 unidades for
, ache a função custo total.
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
k) ;
k)