Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
k)
;
k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
Para isso, vamos usar métodos de resolução de EDOs homogêneas e substituição adequada. Precisamos lembrar como identificar equações homogêneas e como aplicar a substituição
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para deixar
isolado:
Isso nos ajuda a ver melhor a estrutura da equação.
Passo 3
Observamos que a equação é homogênea de grau zero (o grau de
e
é 3, e o denominador também tem grau 3). Isso indica que podemos usar a substituição
.
Passo 4
Com
, temos
. Vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Substituindo isso na equação original:
Passo 5
Vamos isolar
:
Então:
Passo 6
Agora, essa equação é separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Pronto para integrar!
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Vamos substituir de volta
:
Multiplicando os dois lados por
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
Exercícios relacionados
A função custo marginal
é dada por
quando
é o custo total da produção de
unidades. Se o custo da produção de 5 unidades for
, ache a função custo total.
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
b) ;
b)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
i) ;
i)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
l) ;
l)