Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
i) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
Vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs de primeira ordem, especificamente uma substituição que simplifique a equação para algo mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a equação:
Percebe-se que ela tem termos que envolvem e . Para simplificar, vamos fazer uma substituição que nos ajude a lidar com esses termos. Vamos definir:
Isso é útil porque ao derivar em relação a , conseguimos eliminar o termo .

Passo 3

Calculando a derivada de em relação a :
Agora, substituímos da EDO original:
Simplificando:
Lembrando que , substituímos de novo:
Isso resulta em uma equação linear na forma:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para resolver, vamos encontrar um fator integrante. A fórmula para o fator integrante é:
Onde . Então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , temos:
E, finalmente:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é a constante de integração. Essa solução satisfaz a equação diferencial original, e ao substituir de volta na EDO, podemos verificar que ambos os lados da equação são iguais, confirmando assim a validade da solução.

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k) ;
A função custo marginal é dada por
quando é o custo total da produção de unidades. Se o custo da produção de 5 unidades for , ache a função custo total.
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l) ;
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n) ;