Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
i)
;
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
Vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs de primeira ordem, especificamente uma substituição que simplifique a equação para algo mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a equação:
Percebe-se que ela tem termos que envolvem
e
. Para simplificar, vamos fazer uma substituição que nos ajude a lidar com esses termos. Vamos definir:
Isso é útil porque ao derivar
em relação a
, conseguimos eliminar o termo
.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos
da EDO original:
Simplificando:
Lembrando que
, substituímos de novo:
Isso resulta em uma equação linear na forma:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para resolver, vamos encontrar um fator integrante. A fórmula para o fator integrante
é:
Onde
. Então:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, temos:
E, finalmente:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é a constante de integração. Essa solução satisfaz a equação diferencial original, e ao substituir
de volta na EDO, podemos verificar que ambos os lados da equação são iguais, confirmando assim a validade da solução.
Exercícios relacionados
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
k) ;
k)
A função custo marginal
é dada por
quando
é o custo total da produção de
unidades. Se o custo da produção de 5 unidades for
, ache a função custo total.
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
l) ;
l)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
n) ;
n)