R 1=0,6 Ohms, X 1=1,2 Ohms, R 2=0,1 Ohms e X 2=0,3 Ohms, Rc=3,2 KOhms e Xm=1,2 KOhms O Trafo opera com 80 % de sua carga nominal e fp=0,866 indutivo. Determine as perdas nos enrolamentos, as perdas no núcleo, e o rendimento para essa condição de carga.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um transformador com alguns valores de resistência e reatância nos enrolamentos, além das perdas no núcleo. A questão quer que a gente calcule as perdas nos enrolamentos, as perdas no núcleo e o rendimento quando o transformador está operando com 80% da sua carga nominal e com um fator de potência de 0,866 (indutivo). Para isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos e eficiência de máquinas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Enrolamento Primário:
    • Resistência:
    • Reatância:
  • Enrolamento Secundário:
    • Resistência:
    • Reatância:
  • Perdas no Núcleo:
    • Resistência do núcleo:
    • Indutância do núcleo:
  • Condições de Operação:
    • Carga: 80% da nominal
    • Fator de Potência: indutivo

Passo 3

Vamos começar calculando as correntes nos enrolamentos. Como o transformador está operando com 80% da carga, a corrente secundária ( I2 = 0,8 times I2n ) pode ser relacionada à corrente nominal ( ) pela relação:
No entanto, como não temos o valor nominal da corrente, vamos considerar que é a corrente de base e trabalhar com proporções.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a impedância total do circuito secundário. A impedância total ( Zeq = R2 + jX2 = 0,1 + j0,3 Omega ) é composta pela resistência e reatância do secundário:
|Zeq| = raizR2^2 + X2^2 = raiz0,1^2 + 0,3^2 = raiz0,01 + 0,09 = raiz0,10 approx 0,316 Omega
A magnitude da impedância é:

Passo 5

Agora, vamos considerar a corrente no primário ( I1 = I2 times V2V1 ). Para isso, usamos a relação de transformação do transformador. Ignorando as perdas por simplificação inicial, temos:
Sem os valores de tensão, vamos considerar que a relação de tensão é 1:1 para facilitar os cálculos, então .

Passo 6

Vamos calcular as perdas nos enrolamentos. As perdas por efeito Joule são dadas por:
Pperdas = I^2 times R
Então, as perdas no primário ( Pp = I1^2 times R1 = I2^2 times 0,6 ) e no secundário ( Ps = I2^2 times R2 = I2^2 times 0,1 ) são:
Penrolamentos = Pp + Ps = I2^2 times (0,6 + 0,1) = I2^2 times 0,7
Assim, as perdas totais nos enrolamentos são:

Passo 7

As perdas no núcleo são dadas por Ic = V1Rc + jXm approx V1Rc (pois Rc gg Xm) ú. Já que temos a resistência do núcleo Ic approx 13200 = 0,0003125 A e a reatância Pnúc<=o = Ic^2 times Rc = (0,0003125)^2 times 3200 approx 0,0003125^2 times 3200 approx 0,3125 W , podemos calcular a corrente que passa pelo núcleo ( ) usando:
Assumindo para simplificar:
Então, as perdas no núcleo são:
ú

Passo 8

Agora, vamos calcular o rendimento ( eta = Potência de saídaPotência de entrada times 100% ) do transformador. O rendimento é dado por:
Pout = 0,8 times Pnominal êíê
A potência de saída ( Pin = Pout + Penrolamentos + Pnúc<=o ) é 80% da potência nominal:
eta = PoutPout + Penrolamentos + Pnúc<=o times 100%
A potência de entrada ( ) é a soma da potência de saída e das perdas:
ú
Então:
ú
Substituindo e ú, precisamos de e .

Passo 9

Como não temos valores absolutos para as potências e correntes, vamos considerar que a potência nominal ( Pout = 0,8 S ) seja Penrolamentos = I2^2 times 0,7 = Pout^2S^2 times 0,7 = (0,8 S)^2S^2 times 0,7 = 0,64 times 0,7 = 0,448 W VA. Então:
Para as perdas nos enrolamentos, precisamos relacionar com a potência. Considerando fator de potência :

Passo 10

Agora, substituindo na fórmula do rendimento:
eta = 0,8 S0,8 S + 0,448 + 0,3125 times 100%
Simplificando:
eta = 0,8 S0,8 S + 0,7605 times 100%
Como eta approx 0,8 S0,8 S times 100% = 100% é muito maior que 0,7605 W, o rendimento será aproximadamente:
No entanto, como há perdas, o rendimento real será um pouco menor. Para uma estimativa mais precisa, precisaríamos dos valores exatos de e .

Resposta

As perdas nos enrolamentos são aproximadamente , as perdas no núcleo são cerca de e o rendimento do transformador sob as condições dadas é próximo de 100%, levando em conta as pequenas perdas calculadas.

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