ointC[(x y+z) d x+(x-y) d y+4 z d z]
C: r(t)=(sen t, cos t, pi), t in[0,2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral de linha sobre a curva dada por para de a . O conteúdo envolve cálculo de integrais de linha, e para isso vamos precisar parametrizar a curva, calcular as derivadas de e em relação a , substituir na integral e resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da curva x(t) = sin t, y(t) = cos t, z(t) = pi :
Como é constante ( ), sua derivada em relação a será zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de dxdt = cos t, dydt = -sin t, dzdt = 0 e em relação a :
Essas derivadas nos ajudarão a expressar e em termos de .

Passo 4

Substituímos ointC [ (x y + z) dx + (x - y) dy + 4z dz ] = integral0^2pi [ (sin t cos t + pi) cos t + (sin t - cos t)(- sin t) + 4pi cdot 0 ] dt e suas derivadas na integral original:
Note que o termo com desaparece porque .

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da integral:
(sin t cos t + pi) cos t + (sin t - cos t)(- sin t) = sin t cos^2 t + pi cos t - sin^2 t + sin t cos t
Agora, integrando termo a termo:
integral0^2pi ( sin t cos^2 t + pi cos t - sin^2 t + sin t cos t ) dt
Observamos que:
integral0^2pi sin t cos^2 t , dt = 0, integral0^2pi pi cos t , dt = 0, integral0^2pi sin t cos t , dt = 0
Fica restando:
- integral0^2pi sin^2 t , dt = -pi

Resposta

O valor da integral de linha é .

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