Prove por indução finita: .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos provar, usando indução matemática, que para todo número inteiro , a inequação é verdadeira. A indução matemática é uma técnica que nos permite provar que uma afirmação é válida para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de , que é . Isso é chamado de caso base.
Calculando:
E comparando com :
Portanto, a afirmação é verdadeira para .

Passo 3

Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum inteiro . Ou seja, hipótese de indução:
Essa suposição nos ajudará a provar que a afirmação também é verdadeira para .

Passo 4

Precisamos mostrar que:
Podemos reescrever como . Assim:
Usando a hipótese de indução , substituímos:
Então, temos:

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que , para que possamos concluir que:
Subtraindo de ambos os lados:
Como (pela hipótese de indução), a desigualdade é verdadeira. Portanto:

Resposta

Concluímos, por indução matemática, que para todo inteiro .

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Prove por indução finita: para .