Prove por indução finita:
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos provar, usando indução matemática, que para todo número inteiro
, a inequação
é verdadeira. A indução matemática é uma técnica que nos permite provar que uma afirmação é válida para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de
, que é
. Isso é chamado de caso base.
Calculando:
E comparando com
:
Portanto, a afirmação é verdadeira para
.
Passo 3
Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum inteiro
. Ou seja, hipótese de indução:
Essa suposição nos ajudará a provar que a afirmação também é verdadeira para
.
Passo 4
Precisamos mostrar que:
Podemos reescrever
como
. Assim:
Usando a hipótese de indução
, substituímos:
Então, temos:
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que
, para que possamos concluir que:
Subtraindo
de ambos os lados:
Como
(pela hipótese de indução), a desigualdade
é verdadeira. Portanto:
Resposta
Concluímos, por indução matemática, que
para todo inteiro
.
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para
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