Prove por indução finita: .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de matemática que envolve prova por indução. A questão pede para provar que a soma dos termos da forma de até é igual a para todo . Para isso, vamos precisar entender o que é prova por indução e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é prova por indução. É uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais maiores ou iguais a um certo valor. Consiste em dois passos:
  1. Base da Indução: Verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor (número base).
  2. Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum número e, então, provar que ela também é verdadeira para .

Passo 3

Vamos começar com a Base da Indução, que é verificar se a afirmação é válida para .
Para :
E o lado direito da equação:
Como ambos os lados são iguais, a base da indução está confirmada.

Passo 4

Agora, vamos para o Passo Indutivo. Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum , ou seja:
Essa suposição é chamada de Hipótese de Indução.

Passo 5

Nosso objetivo agora é provar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Vamos escrever a soma para :
Podemos separar essa soma em:

Passo 6

Substituindo a Hipótese de Indução na expressão acima:
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Fatorando :

Passo 7

Agora, observamos que:
Isso mostra que a expressão se encaixa na forma que queríamos provar para :
Portanto, se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para .

Resposta

Pelo princípio da indução matemática, a igualdade é verdadeira para todo .

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