Prove por indução finita:
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de matemática que envolve prova por indução. A questão pede para provar que a soma dos termos da forma
de
até
é igual a
para todo
. Para isso, vamos precisar entender o que é prova por indução e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é prova por indução. É uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais maiores ou iguais a um certo valor. Consiste em dois passos:
- Base da Indução: Verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor (número base).
- Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum número
e, então, provar que ela também é verdadeira para .
Passo 3
Vamos começar com a Base da Indução, que é verificar se a afirmação é válida para
.
Para
:
E o lado direito da equação:
Como ambos os lados são iguais, a base da indução está confirmada.
Passo 4
Agora, vamos para o Passo Indutivo. Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum
, ou seja:
Essa suposição é chamada de Hipótese de Indução.
Passo 5
Nosso objetivo agora é provar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Vamos escrever a soma para
:
Podemos separar essa soma em:
Passo 6
Substituindo a Hipótese de Indução na expressão acima:
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Fatorando
:
Passo 7
Agora, observamos que:
Isso mostra que a expressão se encaixa na forma que queríamos provar para
:
Portanto, se a afirmação é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
.
Resposta
Pelo princípio da indução matemática, a igualdade
é verdadeira para todo
.
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