Prove por indução finita: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos aqui pede para provar a inequação para todo número inteiro . Vamos usar um método chamado indução matemática, que é tipo um dominó: se a primeira peça cai e cada peça derruba a próxima, todas caem! Para isso, precisamos mostrar que a inequação é verdadeira para (base da indução) e que, se for verdadeira para algum , também é para .

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a inequação funciona para . Substituindo:
Então, . Tá valendo! Essa é a nossa base da indução.

Passo 3

Agora, vamos supor que a inequação é verdadeira para algum inteiro . Ou seja, estamos assumindo que:
Esse é o nosso passo indutivo.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se isso é verdade para , também é para . Vamos calcular e ver se ele é maior que .
Primeiro, expandindo o lado esquerdo:
Agora, o lado direito:
Então, precisamos mostrar que:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Queremos provar que:

Passo 6

Sabemos pela nossa hipótese de indução que . Vamos usar isso para ajudar na nossa prova.
Podemos reescrever a expressão acima como:
Pelo que temos:
Além disso, também é positivo para . Somando as duas partes positivas, a expressão toda fica maior que zero!

Resposta

Portanto, por indução matemática, a inequação é verdadeira para todo inteiro .

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