Prove por indução finita:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos aqui pede para provar a inequação
para todo número inteiro
. Vamos usar um método chamado indução matemática, que é tipo um dominó: se a primeira peça cai e cada peça derruba a próxima, todas caem! Para isso, precisamos mostrar que a inequação é verdadeira para
(base da indução) e que, se for verdadeira para algum
, também é para
.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a inequação funciona para
. Substituindo:
Então,
. Tá valendo! Essa é a nossa base da indução.
Passo 3
Agora, vamos supor que a inequação é verdadeira para algum inteiro
. Ou seja, estamos assumindo que:
Esse é o nosso passo indutivo.
Passo 4
Precisamos mostrar que, se isso é verdade para
, também é para
. Vamos calcular
e ver se ele é maior que
.
Primeiro, expandindo o lado esquerdo:
Agora, o lado direito:
Então, precisamos mostrar que:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Queremos provar que:
Passo 6
Sabemos pela nossa hipótese de indução que
. Vamos usar isso para ajudar na nossa prova.
Podemos reescrever a expressão acima como:
Pelo que temos:
Além disso,
também é positivo para
. Somando as duas partes positivas, a expressão toda fica maior que zero!
Resposta
Portanto, por indução matemática, a inequação
é verdadeira para todo inteiro
.
Exercícios relacionados
Prove por indução finita:
.
Prove por indução finita:
para
.
Prove por indução finita:
, para
.