óleo de densidade relativa igual a 0,90 escoa por uma canalização de 10 cm de diâmetro. A tensão de cisalhamento na parede da canalização é de 0,4 kgf / m^2 e o perfil de velocidade é dado por ( v=2-600. r^2 ), onde r é a distância radial medida a partir do eixo da canalização. Qual a viscosidade cinemática do óleo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um óleo com densidade relativa de 0,90 que está escoando por uma canalização de 10 cm de diâmetro. A tensão de cisalhamento na parede dessa canalização é de e o perfil de velocidade do óleo é dado por , onde é a distância radial medida a partir do eixo da canalização. Nosso objetivo aqui é encontrar a viscosidade cinemática desse óleo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é viscosidade cinemática. Ela é uma medida de quão “espesso” ou “fluido” um líquido é, e é definida como a razão entre a viscosidade dinâmica ( nu = murho ) e a densidade ( ) do líquido:
Então, para encontrar a viscosidade cinemática ( ), precisamos primeiro determinar a viscosidade dinâmica ( ) e a densidade ( ) do óleo.

Passo 3

Vamos começar calculando a densidade do óleo. A densidade relativa (também conhecida como gravidade específica) é a razão entre a densidade do óleo e a densidade da água. Sabendo que a densidade da água é aproximadamente rho = densidade relativa times rhoágua = 0,90 times 1000 , kg/m^3 = 900 , kg/m^3 , a densidade do óleo ( ) fica:
á

Passo 4

Agora, vamos encontrar a viscosidade dinâmica ( tau = mu dvdr ). Sabemos que a tensão de cisalhamento ( ) na parede da canalização está relacionada à viscosidade dinâmica e ao gradiente de velocidade ( ):
Vamos calcular a partir do perfil de velocidade fornecido.

Passo 5

O perfil de velocidade é dado por:
v(r) = 2 - 600r^2
Derivando essa expressão em relação a dvdr = -1200r :
R = 10 , cm2 = 5 , cm = 0,05 , m
Na parede da canalização, dvdr|r=R = -1200 times 0,05 = -60 , m/s^2 , onde |dvdr|r=R = 60 , m/s^2 é o raio da canalização. Como o diâmetro é 10 cm, o raio é:
Então, o gradiente de velocidade na parede é:
O sinal negativo indica que a velocidade diminui à medida que nos afastamos do centro, mas para a viscosidade, vamos considerar apenas o valor absoluto:

Passo 6

Agora, podemos usar a relação da tensão de cisalhamento para encontrar tau = mu dvdr Rightarrow mu = taudvdr :
mu = 0,4 , kgf/m^260 , m/s^2
Substituindo os valores:
0,4 , kgf/m^2 times 9,80665 , N/kgf = 3,92266 , N/m^2
Antes de prosseguir, precisamos converter a tensão de cisalhamento de mu = 3,92266 , N/m^260 , m/s^2 approx 0,06538 , kg/(m cdot s) para (Pascal), já que a unidade padrão de pressão no Sistema Internacional é Pascal (Pa), onde :
Então:

Passo 7

Finalmente, podemos calcular a viscosidade cinemática ( nu = 0,06538 , kg/(m cdot s)900 , kg/m^3 approx 7,264 times 10^-5 , m^2/s ) usando a relação :

Resposta

A viscosidade cinemática do óleo é aproximadamente .

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