óleo de densidade relativa igual a 0,90 escoa por uma canalização de 10 cm de diâmetro. A tensão de cisalhamento na parede da canalização é de e o perfil de velocidade é dado por ( . ), onde r é a distância radial medida a partir do eixo da canalização. Qual a viscosidade cinemática do óleo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um óleo com densidade relativa de 0,90 que está escoando por uma canalização de 10 cm de diâmetro. A tensão de cisalhamento na parede dessa canalização é de e o perfil de velocidade do óleo é dado por , onde é a distância radial medida a partir do eixo da canalização. Nosso objetivo aqui é encontrar a viscosidade cinemática desse óleo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é viscosidade cinemática. Ela é uma medida de quão “espesso” ou “fluido” um líquido é, e é definida como a razão entre a viscosidade dinâmica () e a densidade () do líquido:
Então, para encontrar a viscosidade cinemática (), precisamos primeiro determinar a viscosidade dinâmica () e a densidade () do óleo.
Passo 3
Vamos começar calculando a densidade do óleo. A densidade relativa (também conhecida como gravidade específica) é a razão entre a densidade do óleo e a densidade da água. Sabendo que a densidade da água é aproximadamente , a densidade do óleo () fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a viscosidade dinâmica (). Sabemos que a tensão de cisalhamento () na parede da canalização está relacionada à viscosidade dinâmica e ao gradiente de velocidade ():
Vamos calcular a partir do perfil de velocidade fornecido.
Passo 5
O perfil de velocidade é dado por:
Derivando essa expressão em relação a :
Na parede da canalização, , onde é o raio da canalização. Como o diâmetro é 10 cm, o raio é:
Então, o gradiente de velocidade na parede é:
O sinal negativo indica que a velocidade diminui à medida que nos afastamos do centro, mas para a viscosidade, vamos considerar apenas o valor absoluto:
Passo 6
Agora, podemos usar a relação da tensão de cisalhamento para encontrar tau = mu dvdr Rightarrow mu = taudvdr :
Antes de prosseguir, precisamos converter a tensão de cisalhamento de mu = 3,92266 , N/m^260 , m/s^2 approx 0,06538 , kg/(m cdot s) para (Pascal), já que a unidade padrão de pressão no Sistema Internacional é Pascal (Pa), onde :
Então:
Passo 7
Finalmente, podemos calcular a viscosidade cinemática ( nu = 0,06538 , kg/(m cdot s)900 , kg/m^3 approx 7,264 times 10^-5 , m^2/s ) usando a relação :
Resposta
A viscosidade cinemática do óleo é aproximadamente .