Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O espaçamento total entre as placas é
. A viscosidade do óleo é
e o gradiente de pressão é
. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento placa superior e a vazão em volume através da fresta por metro de largura. (FOX 8.10)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica dos fluidos juntos! O problema fala sobre um óleo viscoso que está escoando de um jeito laminar e totalmente desenvolvido entre duas placas paralelas. A gente precisa descobrir duas coisas: a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento na placa de cima e a vazão em volume que passa pela fresta por metro de largura.
Para resolver, vamos usar conceitos de escoamento laminar entre placas paralelas, calcular a tensão de cisalhamento usando a viscosidade e o gradiente de pressão, e determinar a vazão volumétrica com base na velocidade do fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a tensão de cisalhamento na placa superior. A tensão de cisalhamento (
) em escoamentos laminares é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a viscosidade do óleo. -
é o gradiente de velocidade.
No caso de escoamento laminar entre duas placas paralelas, o gradiente de velocidade é constante e igual ao gradiente de pressão (
) dividido pela viscosidade:
Substituindo na fórmula da tensão de cisalhamento:
Mas atenção: o gradiente de pressão dado é
, indicando que a pressão diminui na direção do escoamento. Portanto, a tensão de cisalhamento será:
A tensão de cisalhamento é positiva, pois está no sentido oposto ao gradiente de pressão.
Passo 3
Agora, vamos calcular a vazão volumétrica (
) por metro de largura. Para isso, usamos a relação para escoamento laminar entre placas paralelas:
Onde:
-
é o espaçamento entre as placas. -
é a viscosidade. -
é o gradiente de pressão.
Vamos substituir os valores dados:
Substituindo na fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
Convertendo para unidades mais comuns:
Resposta
A tensão de cisalhamento na placa superior é de
no sentido contrário ao gradiente de pressão, e a vazão volumétrica através da fresta por metro de largura é de
.