Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O espaçamento total entre as placas é h=3 mm. A viscosidade do óleo é 0,50 N cdot s / m^2 e o gradiente de pressão é -1200 N / m^2 / m. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento placa superior e a vazão em volume através da fresta por metro de largura. (FOX 8.10)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica dos fluidos juntos! O problema fala sobre um óleo viscoso que está escoando de um jeito laminar e totalmente desenvolvido entre duas placas paralelas. A gente precisa descobrir duas coisas: a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento na placa de cima e a vazão em volume que passa pela fresta por metro de largura.
Para resolver, vamos usar conceitos de escoamento laminar entre placas paralelas, calcular a tensão de cisalhamento usando a viscosidade e o gradiente de pressão, e determinar a vazão volumétrica com base na velocidade do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a tensão de cisalhamento na placa superior. A tensão de cisalhamento ( tau) em escoamentos laminares é dada pela fórmula:
tau = mu cdot dudy
Onde:
  • mu é a viscosidade do óleo.
  • dudy é o gradiente de velocidade.
No caso de escoamento laminar entre duas placas paralelas, o gradiente de velocidade é constante e igual ao gradiente de pressão ( dpdx) dividido pela viscosidade:
dudy = 1mu cdot dpdx
Substituindo na fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = mu cdot ( 1mu cdot dpdx ) = dpdx
Mas atenção: o gradiente de pressão dado é -1200 , N/m^2/m, indicando que a pressão diminui na direção do escoamento. Portanto, a tensão de cisalhamento será:
tau = -dpdx = 1200 , N/m^2
A tensão de cisalhamento é positiva, pois está no sentido oposto ao gradiente de pressão.

Passo 3

Agora, vamos calcular a vazão volumétrica ( Q) por metro de largura. Para isso, usamos a relação para escoamento laminar entre placas paralelas:
Q = h^22mu cdot ( -dpdx )
Onde:
  • h é o espaçamento entre as placas.
  • mu é a viscosidade.
  • dpdx é o gradiente de pressão.
Vamos substituir os valores dados:
h = 3 , mm = 0,003 , m
mu = 0,50 , N cdot s/m^2
-dpdx = 1200 , N/m^2/m
Substituindo na fórmula:
Q = (0,003)^22 cdot 0,50 cdot 1200
Vamos calcular passo a passo:
(0,003)^2 = 0,000009 , m^2
2 cdot 0,50 = 1
Q = 0,0000091 cdot 1200 = 0,0108 , m^3/s/m
Convertendo para unidades mais comuns:
0,0108 , m^3/s/m = 10,8 , L/s/m

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é de 1200 , N/m^2 no sentido contrário ao gradiente de pressão, e a vazão volumétrica através da fresta por metro de largura é de 10,8 , L/s/m.

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