Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O espaçamento total entre as placas é . A viscosidade do óleo é e o gradiente de pressão é . Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento placa superior e a vazão em volume através da fresta por metro de largura. (FOX 8.10)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica dos fluidos juntos! O problema fala sobre um óleo viscoso que está escoando de um jeito laminar e totalmente desenvolvido entre duas placas paralelas. A gente precisa descobrir duas coisas: a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento na placa de cima e a vazão em volume que passa pela fresta por metro de largura.
Para resolver, vamos usar conceitos de escoamento laminar entre placas paralelas, calcular a tensão de cisalhamento usando a viscosidade e o gradiente de pressão, e determinar a vazão volumétrica com base na velocidade do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a tensão de cisalhamento na placa superior. A tensão de cisalhamento ( ) em escoamentos laminares é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a viscosidade do óleo.
  • é o gradiente de velocidade.
No caso de escoamento laminar entre duas placas paralelas, o gradiente de velocidade é constante e igual ao gradiente de pressão ( ) dividido pela viscosidade:
Substituindo na fórmula da tensão de cisalhamento:
Mas atenção: o gradiente de pressão dado é , indicando que a pressão diminui na direção do escoamento. Portanto, a tensão de cisalhamento será:
A tensão de cisalhamento é positiva, pois está no sentido oposto ao gradiente de pressão.

Passo 3

Agora, vamos calcular a vazão volumétrica ( ) por metro de largura. Para isso, usamos a relação para escoamento laminar entre placas paralelas:
Onde:
  • é o espaçamento entre as placas.
  • é a viscosidade.
  • é o gradiente de pressão.
Vamos substituir os valores dados:
Substituindo na fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
Convertendo para unidades mais comuns:

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é de no sentido contrário ao gradiente de pressão, e a vazão volumétrica através da fresta por metro de largura é de .

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