Uma onda eletromagnética senoidal plana se propagando no ar possui comprimento de onda igual a 3,00 cm e a amplitude do campo elétrico é igual a 9,00 V / m. Dê as suas respostas em valores numéricos.
a) Qual é a frequência desta onda?
b) Sabendo que o vetor de propagação da onda está na mesma direção e é proporcional ao vetor 4 i-3 k, onde i e k são vetores unitários nas direções x e z respectivamente - escreva uma possível expressão para o vetor campo elétrico em função do tempo e do espaço.
c) A partir da sua resposta do item b), escreva uma possível expressão para o vetor campo magnético em função do tempo e do espaço.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma onda eletromagnética senoidal que se propaga no ar com um comprimento de onda de 3,00 cm e uma amplitude do campo elétrico de 9,00 V/m. Precisamos calcular:
a) A frequência dessa onda.
b) Uma expressão para o vetor campo elétrico em função do tempo e do espaço, sabendo que o vetor de propagação é proporcional a .
c) Uma expressão para o vetor campo magnético em função do tempo e do espaço, baseada na resposta do item b).
Para resolver esses itens, vamos utilizar conceitos de ondas eletromagnéticas, como a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda, além das equações que relacionam os campos elétrico e magnético.

Passo 2

Item a) Qual é a frequência desta onda?
Vamos usar a relação fundamental das ondas eletromagnéticas:
c = lambda cdot f
Onde:
  • 3,00 , cm = 0,03 , m é a velocidade da luz no ar ( f = clambda = 3,00 times 10^8 , m/s0,03 , m = 1,00 times 10^10 , Hz ),
  • é o comprimento de onda,
  • é a frequência.
Primeiro, precisamos converter o comprimento de onda de centímetros para metros:
Agora, rearranjando a fórmula para encontrar a frequência:

Passo 3

Item b) Expressão para o vetor campo elétrico em função do tempo e do espaço.
Sabemos que o vetor de propagação da onda é proporcional a k = 4i - 3kraiz4^2 + (-3)^2 = 4i - 3k5 . Vamos normalizar esse vetor para obter a direção da propagação:
E(r, t) = E0 cos(k cdot r - omega t + phi)
A expressão geral para o campo elétrico de uma onda eletromagnética senoidal plana é:
k = 2pilambda k = 2pi0,03 cdot 4i - 3k5 approx 200pi3 cdot 4i - 3k5
Onde:
  • E(r, t) = 9,00 , V/m cdot cos((45i - 35k) cdot r - 2pi f t) é a amplitude do campo elétrico ( ),
  • é o vetor de onda ( ),
  • é a frequência angular ( ),
  • é a fase inicial (podemos considerar para simplificação).
Calculando :
Portanto, uma possível expressão para o vetor campo elétrico é:

Passo 4

Item c) Expressão para o vetor campo magnético em função do tempo e do espaço.
Os campos elétrico B = 1c k times E e magnético |B| = |E|c em uma onda eletromagnética estão relacionados pela equação:
B(r, t) = 9,00 , V/m3,00 times 10^8 , m/s cdot (-35i - 45k) cdot cos((45i - 35k) cdot r - 2pi f t)
Sabendo que:
B(r, t) = 3,00 times 10^-8 , T cdot (-35i - 45k) cdot cos((45i - 35k) cdot r - 2pi f t)
E considerando que a direção de é perpendicular tanto à direção de quanto à direção de propagação da onda, podemos escrever:
Simplificando:

Resposta

a) A frequência da onda é E(r, t) = 9,00 , V/m cdot cos((45i - 35k) cdot r - 2pi times 1,00 times 10^10 , t) Hz.
b) Uma possível expressão para o vetor campo elétrico é:
B(r, t) = 3,00 times 10^-8 , T cdot (-35i - 45k) cdot cos((45i - 35k) cdot r - 2pi times 1,00 times 10^10 , t)
c) Uma possível expressão para o vetor campo magnético é:

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