Um solenoide é projetado para produzir um campo magnético igual a em seu centro. Ele possui raio de , comprimento de e o fio conduz uma corrente máxima de . (a) Qual é o número mínimo de espiras que o solenoide deve ter? (b) Qual é o comprimento total do fio necessário?

Passo 1

Beleza, temos um exercício sobre solenoides, que são bobinas de fio usadas para criar campos magnéticos. A questão nos pede para calcular duas coisas: o número mínimo de voltas que o solenoide precisa ter para gerar um campo magnético específico no centro, e o comprimento total do fio necessário para construir esse solenoide. Vamos precisar usar a fórmula do campo magnético de um solenoide e algumas relações geométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o campo magnético no centro de um solenoide. A fórmula é:
onde:
  • é o campo magnético,
  • é a permeabilidade do vácuo ( ),
  • é o número de voltas por unidade de comprimento,
  • é a corrente elétrica.

Passo 3

A gente quer achar o número total de voltas . Sabendo que o solenoide tem um comprimento , a relação entre e é:
Substituindo isso na fórmula do campo magnético:

Passo 4

Agora, vamos isolar na equação para encontrar o número de voltas:

Passo 5

Vamos substituir os valores dados na questão:
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos calcular isso passo a passo:
Então, o número mínimo de voltas é aproximadamente 716.

Passo 7

Agora, para encontrar o comprimento total do fio, precisamos saber quantas voltas o solenoide tem e o comprimento de cada volta. Cada volta do solenoide tem o comprimento da circunferência da sua base.
A fórmula para o comprimento da circunferência é:
onde é o raio.

Passo 8

Substituindo o raio :

Passo 9

Multiplicamos o comprimento de uma volta pelo número total de voltas para encontrar o comprimento total do fio:

Resposta

(a) O número mínimo de voltas que o solenoide deve ter é aproximadamente 716 voltas.
(b) O comprimento total do fio necessário é aproximadamente 63,0 metros.

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