Um solenoide é projetado para produzir um campo magnético igual a
em seu centro. Ele possui raio de
, comprimento de
e o fio conduz uma corrente máxima de
. (a) Qual é o número mínimo de espiras que o solenoide deve ter? (b) Qual é o comprimento total do fio necessário?
Passo 1
Beleza, temos um exercício sobre solenoides, que são bobinas de fio usadas para criar campos magnéticos. A questão nos pede para calcular duas coisas: o número mínimo de voltas que o solenoide precisa ter para gerar um campo magnético específico no centro, e o comprimento total do fio necessário para construir esse solenoide. Vamos precisar usar a fórmula do campo magnético de um solenoide e algumas relações geométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o campo magnético
no centro de um solenoide. A fórmula é:
onde:
-
é o campo magnético, -
é a permeabilidade do vácuo ( ), -
é o número de voltas por unidade de comprimento, -
é a corrente elétrica.
Passo 3
A gente quer achar o número total de voltas
. Sabendo que o solenoide tem um comprimento
, a relação entre
e
é:
Substituindo isso na fórmula do campo magnético:
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação para encontrar o número de voltas:
Passo 5
Vamos substituir os valores dados na questão:
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular isso passo a passo:
Então, o número mínimo de voltas é aproximadamente 716.
Passo 7
Agora, para encontrar o comprimento total do fio, precisamos saber quantas voltas o solenoide tem e o comprimento de cada volta. Cada volta do solenoide tem o comprimento da circunferência da sua base.
A fórmula para o comprimento da circunferência
é:
onde
é o raio.
Passo 8
Substituindo o raio
:
Passo 9
Multiplicamos o comprimento de uma volta pelo número total de voltas para encontrar o comprimento total do fio:
Resposta
(a) O número mínimo de voltas que o solenoide deve ter é aproximadamente 716 voltas.
(b) O comprimento total do fio necessário é aproximadamente 63,0 metros.