Pesquisas em altitudes elevadas. Um grande balão de pesquisa, contendo
de gás hélio a
e a uma temperatura de
, sobe rapidamente a partir do nível do solo a uma altitude em que a pressão atmosférica é de apenas
(Figura P19.50). Suponha que o hélio se comporte como um gás ideal e que a subida do balão seja tão rápida que não permita trocas de calor significativas com o ar circundante. (a) Calcule o volume do gás na altitude mais elevada. (b) Calcule a temperatura do gás na altitude mais elevada. © Qual é a variação da energia interna do hélio à medida que o balão sobe para a altitude mais elevada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um balão de pesquisa cheio de hélio que está subindo a uma altitude onde a pressão do ar diminui. Nosso objetivo é calcular três coisas: o novo volume do gás, a nova temperatura e a variação da energia interna do hélio conforme o balão sobe. Para resolver isso, vamos usar as leis dos gases ideais e conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados a processos adiabáticos (onde não há troca de calor).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do gás na altitude mais elevada. Sabemos que a pressão inicial (
) é de
e o volume inicial (
) é de
. A pressão final (
) é de
. Como o processo é rápido e não há troca de calor, ele é adiabático. Para processos adiabáticos de gases ideais, a relação entre pressão e volume é dada por:
Onde
é a razão dos calores específicos (
). Para o hélio, que é um gás monoatômico,
.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para encontrar o volume final (
):
Substituindo os valores:
Calculando a expressão dentro do parênteses:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a temperatura na altitude mais elevada (
). Para processos adiabáticos, a relação entre temperatura e volume é:
Rearranjando para
:
Primeiro, convertemos a temperatura inicial para Kelvin:
Substituindo os valores:
Calculando a fração:
Então:
Passo 5
Por último, vamos determinar a variação da energia interna do hélio (
). Para um gás ideal monoatômico, a energia interna depende apenas da temperatura e é dada por:
Onde
é o número de mols,
é a constante dos gases e
. Porém, podemos usar outra forma, já que não temos diretamente
. Usando a relação:
E para hélio,
. Mas se considerarmos que a massa permanece constante e usando a energia interna por unidade de massa, podemos expressar a variação com base nas temperaturas:
Como a temperatura diminui, a energia interna também diminui.
Resposta
(a) O volume do gás na altitude mais elevada é aproximadamente
.
(b) A temperatura do gás na altitude mais elevada é aproximadamente
.
© A variação da energia interna do hélio é negativa, indicando uma diminuição na energia interna à medida que o balão sobe.