Pesquisas em altitudes elevadas. Um grande balão de pesquisa, contendo de gás hélio a e a uma temperatura de , sobe rapidamente a partir do nível do solo a uma altitude em que a pressão atmosférica é de apenas (Figura P19.50). Suponha que o hélio se comporte como um gás ideal e que a subida do balão seja tão rápida que não permita trocas de calor significativas com o ar circundante. (a) Calcule o volume do gás na altitude mais elevada. (b) Calcule a temperatura do gás na altitude mais elevada. © Qual é a variação da energia interna do hélio à medida que o balão sobe para a altitude mais elevada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um balão de pesquisa cheio de hélio que está subindo a uma altitude onde a pressão do ar diminui. Nosso objetivo é calcular três coisas: o novo volume do gás, a nova temperatura e a variação da energia interna do hélio conforme o balão sobe. Para resolver isso, vamos usar as leis dos gases ideais e conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados a processos adiabáticos (onde não há troca de calor).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do gás na altitude mais elevada. Sabemos que a pressão inicial ( ) é de e o volume inicial ( ) é de . A pressão final ( ) é de . Como o processo é rápido e não há troca de calor, ele é adiabático. Para processos adiabáticos de gases ideais, a relação entre pressão e volume é dada por:
Onde é a razão dos calores específicos ( ). Para o hélio, que é um gás monoatômico, .

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para encontrar o volume final ( ):
Substituindo os valores:
Calculando a expressão dentro do parênteses:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a temperatura na altitude mais elevada ( ). Para processos adiabáticos, a relação entre temperatura e volume é:
Rearranjando para :
Primeiro, convertemos a temperatura inicial para Kelvin:
Substituindo os valores:
Calculando a fração:
Então:

Passo 5

Por último, vamos determinar a variação da energia interna do hélio ( ). Para um gás ideal monoatômico, a energia interna depende apenas da temperatura e é dada por:
Onde é o número de mols, é a constante dos gases e . Porém, podemos usar outra forma, já que não temos diretamente . Usando a relação:
E para hélio, . Mas se considerarmos que a massa permanece constante e usando a energia interna por unidade de massa, podemos expressar a variação com base nas temperaturas:
Como a temperatura diminui, a energia interna também diminui.

Resposta

(a) O volume do gás na altitude mais elevada é aproximadamente .
(b) A temperatura do gás na altitude mais elevada é aproximadamente .
© A variação da energia interna do hélio é negativa, indicando uma diminuição na energia interna à medida que o balão sobe.

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