Pesquisas em altitudes elevadas. Um grande balão de pesquisa, contendo 2,00 times 10^3 m^3 de gás hélio a 1,00 atm e a uma temperatura de 15,0^circ C, sobe rapidamente a partir do nível do solo a uma altitude em que a pressão atmosférica é de apenas 0,900 atm (Figura P19.50). Suponha que o hélio se comporte como um gás ideal e que a subida do balão seja tão rápida que não permita trocas de calor significativas com o ar circundante. (a) Calcule o volume do gás na altitude mais elevada. (b) Calcule a temperatura do gás na altitude mais elevada. © Qual é a variação da energia interna do hélio à medida que o balão sobe para a altitude mais elevada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um balão de pesquisa cheio de hélio que está subindo a uma altitude onde a pressão do ar diminui. Nosso objetivo é calcular três coisas: o novo volume do gás, a nova temperatura e a variação da energia interna do hélio conforme o balão sobe. Para resolver isso, vamos usar as leis dos gases ideais e conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados a processos adiabáticos (onde não há troca de calor).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do gás na altitude mais elevada. Sabemos que a pressão inicial ( P1) é de 1,00 , atm e o volume inicial ( V1) é de 2,00 times 10^3 , m^3. A pressão final ( P2) é de 0,900 , atm. Como o processo é rápido e não há troca de calor, ele é adiabático. Para processos adiabáticos de gases ideais, a relação entre pressão e volume é dada por:
P1 V1^gamma = P2 V2^gamma
Onde gamma é a razão dos calores específicos ( Cp/Cv). Para o hélio, que é um gás monoatômico, gamma = 53.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para encontrar o volume final ( V2):
V2 = V1 ( P1P2 )^1/gamma
Substituindo os valores:
V2 = 2,00 times 10^3 times ( 1,000,900 )^3/5
Calculando a expressão dentro do parênteses:
( 10,900 )^3/5 approx 1,116
Então:
V2 approx 2,00 times 10^3 times 1,116 approx 2,232 times 10^3 , m^3

Passo 4

Agora, vamos calcular a temperatura na altitude mais elevada ( T2). Para processos adiabáticos, a relação entre temperatura e volume é:
T1 V1^gamma - 1 = T2 V2^gamma - 1
Rearranjando para T2:
T2 = T1 ( V1V2 )^gamma - 1
Primeiro, convertemos a temperatura inicial para Kelvin:
T1 = 15,0^circ C + 273,15 = 288,15 , K
Substituindo os valores:
T2 = 288,15 times ( 2,00 times 10^32,232 times 10^3 )^2/3
Calculando a fração:
( 2,002,232 )^2/3 approx 0,920
Então:
T2 approx 288,15 times 0,920 approx 264,7 , K

Passo 5

Por último, vamos determinar a variação da energia interna do hélio ( De). Para um gás ideal monoatômico, a energia interna depende apenas da temperatura e é dada por:
De
Onde n é o número de mols, R é a constante dos gases e De. Porém, podemos usar outra forma, já que não temos diretamente n. Usando a relação:
De
E para hélio, Cv = 32 R. Mas se considerarmos que a massa permanece constante e usando a energia interna por unidade de massa, podemos expressar a variação com base nas temperaturas:
De
Como a temperatura diminui, a energia interna também diminui.

Resposta

(a) O volume do gás na altitude mais elevada é aproximadamente 2,23 times 10^3 , m^3.
(b) A temperatura do gás na altitude mais elevada é aproximadamente 264,7 , K.
© A variação da energia interna do hélio é negativa, indicando uma diminuição na energia interna à medida que o balão sobe.

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