Uma onda harmônica se desloca numa corda infinita, uniforme, sob tensão constante. A corda está marcada de metro em metro. Na marca de 0 m , a corda atinge o seu deslocamento transversal máximo, de 50 cm , a cada 5 s . A distância entre os máximos, em qualquer instante, é 50 m . Dar a função de onda desta onda, admitindo seja harmônica, que tenha 0 deslocamento máximó em
quando
e esteja se movendó na corda da esquerda para a direita.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está nos falando. Temos uma onda harmônica que se propaga numa corda infinita e uniforme, com tensão constante. A corda está marcada de metro em metro, e na marca de 0 metros, o deslocamento transversal atinge o máximo de 50 cm a cada 5 segundos. Além disso, a distância entre os pontos onde o deslocamento é máximo é de 50 metros. Nosso objetivo é encontrar a função de onda que descreve esse movimento, considerando que a onda se move da esquerda para a direita e que inicialmente, no ponto
e
, o deslocamento é zero.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Entender os conceitos de amplitude, período, frequência e comprimento de onda.
- Utilizar a fórmula geral da onda harmônica.
- Aplicar as condições iniciais para encontrar a fase da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da onda:
- Amplitude (
): É o deslocamento máximo da onda. No caso, cm = 0,5 m. - Período (
): É o tempo que a onda leva para completar um ciclo. Aqui, s. - Comprimento de onda (
): É a distância entre dois pontos consecutivos com o mesmo deslocamento máximo. Temos m.
Esses valores são fundamentais para montar a equação da onda.
Passo 3
Agora, vamos calcular a frequência angular (
) e o número de onda (
):
-
Frequência angular (
): -
Número de onda (
):
Esses valores nos ajudam a definir como a onda varia no espaço e no tempo.
Passo 4
Com os parâmetros definidos, vamos montar a função de onda. A forma geral de uma onda que se propaga para a direita é:
Onde
é a fase inicial. Precisamos determinar
usando a condição inicial: no ponto
e
, o deslocamento é zero.
Substituindo na equação:
Então, a função de onda fica:
Podemos simplificar um pouco mais se quisermos, mas essa já é uma expressão completa que atende todas as condições do problema.
Resposta
A função de onda que descreve o movimento é: