Uma onda harmônica se desloca numa corda infinita, uniforme, sob tensão constante. A corda está marcada de metro em metro. Na marca de 0 m , a corda atinge o seu deslocamento transversal máximo, de 50 cm , a cada 5 s . A distância entre os máximos, em qualquer instante, é 50 m . Dar a função de onda desta onda, admitindo seja harmônica, que tenha 0 deslocamento máximó em x=0 quando t=0 e esteja se movendó na corda da esquerda para a direita.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está nos falando. Temos uma onda harmônica que se propaga numa corda infinita e uniforme, com tensão constante. A corda está marcada de metro em metro, e na marca de 0 metros, o deslocamento transversal atinge o máximo de 50 cm a cada 5 segundos. Além disso, a distância entre os pontos onde o deslocamento é máximo é de 50 metros. Nosso objetivo é encontrar a função de onda que descreve esse movimento, considerando que a onda se move da esquerda para a direita e que inicialmente, no ponto e , o deslocamento é zero.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender os conceitos de amplitude, período, frequência e comprimento de onda.
  • Utilizar a fórmula geral da onda harmônica.
  • Aplicar as condições iniciais para encontrar a fase da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da onda:
  • Amplitude ( ): É o deslocamento máximo da onda. No caso, cm = 0,5 m.
  • Período ( ): É o tempo que a onda leva para completar um ciclo. Aqui, s.
  • Comprimento de onda ( ): É a distância entre dois pontos consecutivos com o mesmo deslocamento máximo. Temos m.
Esses valores são fundamentais para montar a equação da onda.

Passo 3

Agora, vamos calcular a frequência angular ( omega = 2piT = 2pi5 rad/s ) e o número de onda ( k = 2pilambda = 2pi50 rad/m ):
  • Frequência angular ( ):
  • Número de onda ( ):
Esses valores nos ajudam a definir como a onda varia no espaço e no tempo.

Passo 4

Com os parâmetros definidos, vamos montar a função de onda. A forma geral de uma onda que se propaga para a direita é:
y(x, t) = A cos(kx - omega t + phi)
Onde 0 = 0,5 cos(0 - 0 + phi) implies cos(phi) = 0 implies phi = pi2 é a fase inicial. Precisamos determinar y(x, t) = 0,5 cos(2pi50x - 2pi5t + pi2) usando a condição inicial: no ponto e , o deslocamento é zero.
Substituindo na equação:
Então, a função de onda fica:
Podemos simplificar um pouco mais se quisermos, mas essa já é uma expressão completa que atende todas as condições do problema.

Resposta

A função de onda que descreve o movimento é:
y(x, t) = 0,5 cos(2pi50,x - 2pi5,t + pi2)

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