Uma onda plana electromagnética, com frequência de 10 GHz , que se propaga num meio sem perdas e com dispersão normal, tem uma velocidade de fase de . A velocidade de fase varia com o comprimento de onda de acordo com a equação , onde é uma constante. Determine a velocidade de grupo. Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma onda eletromagnética plana com frequência de 10 GHz que se propaga num meio sem perdas e com dispersão normal. A velocidade de fase dessa onda é de e varia com o comprimento de onda conforme a equação , onde é uma constante. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade de grupo dessa onda. Para isso, vamos usar conceitos de propagação de ondas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade de grupo. A velocidade de grupo ( ) representa a velocidade com que a energia ou a informação está se propagando através do meio. Ela está relacionada à velocidade de fase ( ) e à variação dessa velocidade com o comprimento de onda.
A relação entre velocidade de grupo e velocidade de fase é dada por:
Onde:
  • é a velocidade de fase,
  • é o comprimento de onda,
  • é a derivada da velocidade de fase em relação ao comprimento de onda.

Passo 3

Sabemos que a frequência ( ) da onda é 10 GHz, que é igual a . A relação entre velocidade de fase, frequência e comprimento de onda é:
Com isso, podemos relacionar o comprimento de onda ( ) com a velocidade de fase:

Passo 4

Agora, vamos substituir a expressão de na equação da velocidade de grupo. Dado que:
Primeiro, precisamos descobrir a constante . Sabemos que quando , . Vamos encontrar usando a relação :
Agora, substituímos na equação de :
Resolvendo para :
Calculando o valor de :

Passo 5

Com o valor de encontrado, podemos agora escrever a expressão completa para :
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Substituindo na fórmula da velocidade de grupo:
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, utilizando :

Resposta

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