Uma onda plana electromagnética, com frequência de 10 GHz , que se propaga num meio sem perdas e com dispersão normal, tem uma velocidade de fase de
. A velocidade de fase varia com o comprimento de onda de acordo com a equação
, onde
é uma constante. Determine a velocidade de grupo. Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma onda eletromagnética plana com frequência de 10 GHz que se propaga num meio sem perdas e com dispersão normal. A velocidade de fase dessa onda é de
e varia com o comprimento de onda conforme a equação
, onde
é uma constante. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade de grupo dessa onda. Para isso, vamos usar conceitos de propagação de ondas e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade de grupo. A velocidade de grupo (
) representa a velocidade com que a energia ou a informação está se propagando através do meio. Ela está relacionada à velocidade de fase (
) e à variação dessa velocidade com o comprimento de onda.
A relação entre velocidade de grupo e velocidade de fase é dada por:
Onde:
-
é a velocidade de fase, -
é o comprimento de onda, -
é a derivada da velocidade de fase em relação ao comprimento de onda.
Passo 3
Sabemos que a frequência (
) da onda é 10 GHz, que é igual a
. A relação entre velocidade de fase, frequência e comprimento de onda é:
Com isso, podemos relacionar o comprimento de onda (
) com a velocidade de fase:
Passo 4
Agora, vamos substituir a expressão de
na equação da velocidade de grupo. Dado que:
Primeiro, precisamos descobrir a constante
. Sabemos que quando
,
. Vamos encontrar
usando a relação
:
Agora, substituímos na equação de
:
Resolvendo para
:
Calculando o valor de
:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, podemos agora escrever a expressão completa para
:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Substituindo na fórmula da velocidade de grupo:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, utilizando
: