Uma onda plana electromagnética, com frequência de 10 GHz , que se propaga num meio sem perdas e com dispersão normal, tem uma velocidade de fase de 300 Mm / s. A velocidade de fase varia com o comprimento de onda de acordo com a equação v(lambda)=b lambda^34, onde b é uma constante. Determine a velocidade de grupo. Resp.: vg=0.75 times 10^8 m / s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma onda eletromagnética plana com frequência de 10 GHz que se propaga num meio sem perdas e com dispersão normal. A velocidade de fase dessa onda é de e varia com o comprimento de onda conforme a equação , onde é uma constante. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade de grupo dessa onda. Para isso, vamos usar conceitos de propagação de ondas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade de grupo. A velocidade de grupo ( vg = vp + lambda dvpdlambda ) representa a velocidade com que a energia ou a informação está se propagando através do meio. Ela está relacionada à velocidade de fase ( ) e à variação dessa velocidade com o comprimento de onda.
A relação entre velocidade de grupo e velocidade de fase é dada por:
Onde:
  • é a velocidade de fase,
  • é o comprimento de onda,
  • é a derivada da velocidade de fase em relação ao comprimento de onda.

Passo 3

Sabemos que a frequência ( vp = lambda f ) da onda é 10 GHz, que é igual a lambda = vpf . A relação entre velocidade de fase, frequência e comprimento de onda é:
Com isso, podemos relacionar o comprimento de onda ( ) com a velocidade de fase:

Passo 4

Agora, vamos substituir a expressão de v(lambda) = b lambda^34 na equação da velocidade de grupo. Dado que:
lambda0 = vpf = 300 times 10^6 , m/s10 times 10^9 , Hz = 0.03 , m
Primeiro, precisamos descobrir a constante 300 times 10^6 = b (0.03)^34 . Sabemos que quando b = 300 times 10^6(0.03)^34 , b approx 300 times 10^60.03^0.75 approx 300 times 10^6 div 0.0562 approx 5.34 times 10^9 , m^1/4/s . Vamos encontrar usando a relação :
Agora, substituímos na equação de :
Resolvendo para :
Calculando o valor de :

Passo 5

Com o valor de v(lambda) = 5.34 times 10^9 lambda^34 encontrado, podemos agora escrever a expressão completa para dvpdlambda = 34 times 5.34 times 10^9 lambda^-14 :
vg = vp + lambda times dvpdlambda = vp + lambda times (34 times 5.34 times 10^9 lambda^-14)
Agora, vamos calcular a derivada de vg = 5.34 times 10^9 lambda^34 + 34 times 5.34 times 10^9 lambda^34 = (1 + 34) times 5.34 times 10^9 lambda^34 = 1.75 times 5.34 times 10^9 lambda^34 em relação a :
Substituindo na fórmula da velocidade de grupo:
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, utilizando vg = 1.75 times 5.34 times 10^9 times (0.03)^34 approx 1.75 times 5.34 times 10^9 times 0.0562 approx 0.75 times 10^8 , m/s :

Resposta

vg = 0.75 times 10^8 , m/s

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