Uma onda plana electromagnética, com frequência de 10 GHz , que se propaga num meio sem perdas e com dispersão normal, tem uma velocidade de fase de
. A velocidade de fase varia com o comprimento de onda de acordo com a equação
, onde
é uma constante. Determine a velocidade de grupo. Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma onda eletromagnética plana com frequência de 10 GHz que se propaga num meio sem perdas e com dispersão normal. A velocidade de fase dessa onda é de
e varia com o comprimento de onda conforme a equação
, onde
é uma constante. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade de grupo dessa onda. Para isso, vamos usar conceitos de propagação de ondas e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade de grupo. A velocidade de grupo (
) representa a velocidade com que a energia ou a informação está se propagando através do meio. Ela está relacionada à velocidade de fase (
) e à variação dessa velocidade com o comprimento de onda.
A relação entre velocidade de grupo e velocidade de fase é dada por:
Onde:
-
é a velocidade de fase, -
é o comprimento de onda, -
é a derivada da velocidade de fase em relação ao comprimento de onda.
Passo 3
Sabemos que a frequência (
) da onda é 10 GHz, que é igual a
. A relação entre velocidade de fase, frequência e comprimento de onda é:
Com isso, podemos relacionar o comprimento de onda (
) com a velocidade de fase:
Passo 4
Agora, vamos substituir a expressão de
na equação da velocidade de grupo. Dado que:
Primeiro, precisamos descobrir a constante
. Sabemos que quando
,
. Vamos encontrar
usando a relação
:
Agora, substituímos na equação de
:
Resolvendo para
:
Calculando o valor de
:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, podemos agora escrever a expressão completa para
:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Substituindo na fórmula da velocidade de grupo:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, utilizando
:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja um corpo em uma mola, com uma posição dada por
. (d) Quando, após
, ocorre a aceleração de magnitude máxima pela
vez?
Seja um corpo em uma mola, com uma posição dada por
. © Qual é a aceleração máxima do corpo?
Em 1654, Otto Von Guericke, inventor da bomba de vácuo fez uma demonstração para os nobres do Sacro Império Romano-Germânico, onde dois grupos de oito cavalos, não puderam separar dois hemisférios de cobre evacuados. Considere um arranjo similar, onde dois cilindros de área transversa
são justapostos e evacuados, cf. mostra a figura. Neste caso os cavalos foram substituídos por massas
. Para
e
determine o valor máximo que a massa M atinge antes dos cilindros se separarem. (Resp.: 102 Toneladas)
Usando os seguintes operadores associados ao momento angular orbital nas coordenadas esféricas:
Determinar os valores de
, e
associados aos seguintes esféricos harmônicos:
a) ,
b) .
Dica: Calcule , e
.
a)
b)
Dica: Calcule