Usando os seguintes operadores associados ao momento angular orbital nas coordenadas esféricas:
Determinar os valores de
, e
associados aos seguintes esféricos harmônicos:
a)
,
b)
.
Dica: Calcule
, e
.
a)
b)
Dica: Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma questão de mecânica quântica, mais especificamente sobre momentos angulares e harmônicos esféricos. Precisamos determinar os valores de
e
para os harmônicos esféricos dados usando os operadores do momento angular
e
. Para isso, vamos aplicar esses operadores nas funções harmônicas fornecidas e ver quais valores de
e
satisfazem as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são
e
. O operador
é o componente z do momento angular e é dado por:
E o operador
representa o momento angular total:
Sabemos que os harmônicos esféricos
satisfazem as equações próprias:
Nos dois casos do exercício, vamos aplicar esses operadores nas funções
dadas e encontrar
e
.
Passo 3
Vamos começar com a parte a):
Primeiro, vamos aplicar
:
Observamos que
não depende de
, então a derivada em relação a
será zero:
Comparando com a equação própria
, temos:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar
em
:
Primeiro, derivadas:
Substituindo:
Simplificando:
Portanto:
Comparando com a equação própria
:
Cancelando termos comuns:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b):
Primeiro, aplicamos
:
Derivando em relação a
:
Então:
Comparando com
:
Logo,
.
Passo 6
Agora, aplicamos
em
:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo:
Simplificando termo a termo:
Então:
Vamos combinar os termos:
Mas isso complica, então vamos usar uma abordagem diferente. Sabemos que:
Vamos comparar os coeficientes. Observando que a função
dada tem
, que corresponde ao
e
.
Resposta
a)
,
b) ,
b)
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. Para
e
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, onde
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)
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,
e
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