Usando os seguintes operadores associados ao momento angular orbital nas coordenadas esféricas:
Determinar os valores de , e associados aos seguintes esféricos harmônicos:
a) ,
b) .
Dica: Calcule , e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma questão de mecânica quântica, mais especificamente sobre momentos angulares e harmônicos esféricos. Precisamos determinar os valores de e para os harmônicos esféricos dados usando os operadores do momento angular e . Para isso, vamos aplicar esses operadores nas funções harmônicas fornecidas e ver quais valores de e satisfazem as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são e . O operador é o componente z do momento angular e é dado por:
E o operador representa o momento angular total:
Sabemos que os harmônicos esféricos satisfazem as equações próprias:
Nos dois casos do exercício, vamos aplicar esses operadores nas funções dadas e encontrar e .

Passo 3

Vamos começar com a parte a):
Primeiro, vamos aplicar :
Observamos que não depende de , então a derivada em relação a será zero:
Comparando com a equação própria , temos:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos aplicar em :
Primeiro, derivadas:
Substituindo:
Simplificando:
Portanto:
Comparando com a equação própria :
Cancelando termos comuns:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos para a parte b):
Primeiro, aplicamos :
Derivando em relação a :
Então:
Comparando com :
Logo, .

Passo 6

Agora, aplicamos em :
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo:
Simplificando termo a termo:
Então:
Vamos combinar os termos:
Mas isso complica, então vamos usar uma abordagem diferente. Sabemos que:
Vamos comparar os coeficientes. Observando que a função dada tem , que corresponde ao e .

Resposta

a) ,
b) ,

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