Usando os seguintes operadores associados ao momento angular orbital nas coordenadas esféricas:
Lz=-i hbar partialpartial phi, L^2=-hbar^2[cot theta partialpartial theta+partial^2partial theta^2+1sin ^2 theta partial^2partial phi^2]
Determinar os valores de l, e m associados aos seguintes esféricos harmônicos:
a) Yl^m=raiz34 pi cos theta,
b) Yl^m=raiz38 pi sin theta e^i phi.
Dica: Calcule Lz Yl^m, e L^2 Yl^m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma questão de mecânica quântica, mais especificamente sobre momentos angulares e harmônicos esféricos. Precisamos determinar os valores de e para os harmônicos esféricos dados usando os operadores do momento angular e . Para isso, vamos aplicar esses operadores nas funções harmônicas fornecidas e ver quais valores de e satisfazem as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são Lz = -i hbar partialpartial phi e L^2 = -hbar^2[cot theta partialpartial theta + partial^2partial theta^2 + 1sin^2 theta partial^2partial phi^2] . O operador L^2 Yl^m = hbar^2 l(l+1) Yl^m é o componente z do momento angular e é dado por:
Lz Yl^m = hbar m Yl^m
E o operador representa o momento angular total:
Sabemos que os harmônicos esféricos satisfazem as equações próprias:
Nos dois casos do exercício, vamos aplicar esses operadores nas funções dadas e encontrar e .

Passo 3

Vamos começar com a parte a):
Yl^m = raiz34 pi cos theta
Primeiro, vamos aplicar Lz Yl^m = -i hbar partialpartial phi ( raiz34 pi cos theta ) :
Lz Yl^m = 0
Observamos que 0 = hbar m Yl^m implies m = 0 não depende de , então a derivada em relação a será zero:
Comparando com a equação própria , temos:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos aplicar L^2 Yl^m = -hbar^2[cot theta partialpartial theta + partial^2partial theta^2 + 1sin^2 theta partial^2partial phi^2] ( raiz34 pi cos theta ) em partialpartial theta cos theta = -sin theta :
partial^2partial theta^2 cos theta = -cos theta
Primeiro, derivadas:
partial^2partial phi^2 cos theta = 0
L^2 Yl^m = -hbar^2[ cot theta (-sin theta) + (-cos theta) + 0 ] raiz34 pi
cot theta (-sin theta) = -cos theta
Substituindo:
L^2 Yl^m = -hbar^2[-cos theta - cos theta] raiz34 pi = 2 hbar^2 cos theta raiz34 pi
Simplificando:
2 hbar^2 cos theta raiz34 pi = hbar^2 l(l+1) raiz34 pi cos theta
Portanto:
2 = l(l+1)
Comparando com a equação própria l^2 + l - 2 = 0 implies l = 1 :
Cancelando termos comuns:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos para a parte b):
Yl^m = raiz38 pi sin theta e^i phi
Primeiro, aplicamos Lz Yl^m = -i hbar partialpartial phi ( raiz38 pi sin theta e^i phi ) :
partialpartial phi e^i phi = i e^i phi
Derivando em relação a Lz Yl^m = -i hbar cdot i raiz38 pi sin theta e^i phi = hbar raiz38 pi sin theta e^i phi :
hbar raiz38 pi sin theta e^i phi = hbar m raiz38 pi sin theta e^i phi
Então:
Comparando com :
Logo, .

Passo 6

Agora, aplicamos L^2 Yl^m = -hbar^2[cot theta partialpartial theta + partial^2partial theta^2 + 1sin^2 theta partial^2partial phi^2] ( raiz38 pi sin theta e^i phi ) em partialpartial theta sin theta = cos theta :
partial^2partial theta^2 sin theta = -sin theta
Primeiro, calculamos as derivadas:
partial^2partial phi^2 e^i phi = - e^i phi
L^2 Yl^m = -hbar^2 [ cot theta cos theta + (-sin theta) + 1sin^2 theta (-1) sin theta ] raiz38 pi e^i phi
cot theta cos theta = cos^2 thetasin theta
Substituindo:
L^2 Yl^m = -hbar^2 [ cos^2 thetasin theta - sin theta - 1sin theta ] raiz38 pi e^i phi
Simplificando termo a termo:
cos^2 theta - sin^2 theta - 1sin theta = cos(2theta) - 1sin theta
Então:
L^2 Yl^m = hbar^2 l(l+1) Yl^m
Vamos combinar os termos:
Mas isso complica, então vamos usar uma abordagem diferente. Sabemos que:
Vamos comparar os coeficientes. Observando que a função dada tem , que corresponde ao e .

Resposta

a) ,
b) ,

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