Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação y (x,t) = 0,00751 sen (62,8x – 3,71t), na qual as constantes numéricas estão em unidades do SI. A velocidade da onda, em cm/s, e o deslocamento y para x = 23,9 cm e t = 15,3 s são:
a) v = 5,9 cm/s e y = 5,9.10-1 cm.
b) v = 0,059 cm/s e y = 5,9.10-3 cm.
c) v = 0,59 cm/s e y = 5,9.10-2 cm.
d) v = 5,9 cm/s e y = 5,9.10-3 cm.
e) v = 0,059 cm/s e y = 5,9.10-2 cm.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre ondas que se propagam em uma corda. A equação que descreve essa onda é $ y(x,t) = 0,00751 \sin(62,8x – 3,71t) $. A gente precisa encontrar a velocidade da onda (v) em centímetros por segundo e o deslocamento $ y $ para $ x = 23,9 $ cm e $ t = 15,3 $ s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre ondas, como a relação entre os parâmetros da equação da onda e a velocidade de propagação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação da onda. A equação geral de uma onda é $ y(x,t) = A \sin(kx – \omega t) $, onde:
  • $ A $ é a amplitude da onda.
  • $ k $ é o número de onda, relacionado ao comprimento de onda ($ \lambda $).
  • $ \omega $ é a frequência angular, relacionada ao período ($ T $).
No nosso caso, $ A = 0,00751 $ (em metros), $ k = 62,8 $ rad/m e $ \omega = 3,71 $ rad/s.

Passo 3

Para encontrar a velocidade da onda ($ v $), podemos usar a relação entre $ \omega $ e $ k $:
v
Vamos substituir os valores:
omega
k
Como queremos a velocidade em centímetros por segundo, multiplicamos por 100:
v = omegak

Passo 4

Agora, vamos calcular o deslocamento $ y $ para $ x = 23,9 $ cm e $ t = 15,3 $ s. Primeiro, vamos converter $ x $ para metros, já que a equação está em SI:
y
Substituindo na equação da onda:
x = 23,9
Vamos calcular os argumentos do seno:
t = 15,3
x
Então:
x = 23,9 , cm = 0,239 , m
y(0,239, 15,3) = 0,00751 sin(62,8 times 0,239 3,71 times 15,3)
Sabemos que $ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $, então:
62,8 times 0,239 approx 15 , rad
Calculando o seno:
3,71 times 15,3 approx 56,8 , rad
Então:
y = 0,00751 sin(15 56,8)
y = 0,00751 sin(-41,8)
Convertendo para centímetros:
sin(-theta) = -sin(theta)
Mas como estamos procurando o valor absoluto do deslocamento:
y = -0,00751 sin(41,8)

Resposta

A alternativa correta é a letra a): $ v = 5,9 , cm/s $ e $ y = 5,9 \times 10^{-1} , cm $.

Exercícios relacionados