Uma onda em propagação é da forma
que também pode ser escrita como
, onde
(a)
i.
ii.
iii.
iv.
(b)
i.
ii.
iii.
iv.
.
(a)
i.
ii.
iii.
iv.
(b)
i.
ii.
iii.
iv.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a questão! A gente tem uma onda que está se propagando, e a expressão dela pode ser escrita de duas formas diferentes. A primeira é uma combinação de cosseno e seno, e a segunda é uma única função seno com uma amplitude $ D $ e uma fase $ \phi $. A matéria que vamos usar aqui é sobre ondas e como combinar funções trigonométricas. Vamos precisar entender como transformar a forma combinada em uma única função seno.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão original da onda:
Queremos escrever essa expressão como:
Para fazer isso, usamos uma identidade trigonométrica que combina cosseno e seno em uma única função seno com uma amplitude e uma fase diferentes.
Passo 3
A identidade que usamos é:
onde $ \phi = \arctan\left(\frac{A}{B}\right) $.
Aqui, $ \theta $ é $ k x - \omega t $, então podemos identificar que:
e
Passo 4
Agora, vamos analisar as alternativas da parte (a). Queremos encontrar qual delas representa corretamente $ D $ em termos de $ A $ e $ B $.
As opções são:
i. $ D = A + B $
ii. $ D = |A| + |B| $
iii. $ D^{2} = A^{2} + B^{2} $
iv. $ D = A - B $
Da nossa identidade, sabemos que $ D = \sqrt{A^2 + B^2} $. Isso significa que $ D^2 = A^2 + B^2 $.
Passo 5
Analisando as opções, vemos que a opção iii está correta, pois corresponde a $ D^{2} = A^{2} + B^{2} $.
Agora, na parte (b), precisamos encontrar a expressão correta para $ \phi $.
As opções são:
i. $ \phi = \operatorname{arctg}\left(\frac{A}{B}\right) $
ii. $ \phi = \operatorname{arctg}\left(\frac{B}{A}\right) $
iii. $ \phi = \operatorname{arctg}\left(\frac{-A}{B}\right) $
iv. $ \phi = 0 $
Passo 6
Seguindo a identidade, sabemos que:
Portanto, a opção i está correta.
Resposta
(a) iii. $ D^{2} = A^{2} + B^{2} $
(b) i. $ \phi = \operatorname{arctg}\left(\frac{A}{B}\right) $