Uma onda em propagação é da forma (x, t)=A cos (k x-omega t)+B sen(k x-omega t) que também pode ser escrita como (x, t)=D sen(k x-omega t-phi), onde
(a)
i. D=A+B
ii. D=|A|+|B|
iii. D^2=A^2+B^2
iv. D=A-B
(b)
i. phi=arctg(A / B)
ii. phi=arctg(B / A)
iii. phi=arctg(-A / B)
iv. phi=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão! A gente tem uma onda que está se propagando, e a expressão dela pode ser escrita de duas formas diferentes. A primeira é uma combinação de cosseno e seno, e a segunda é uma única função seno com uma amplitude $ D $ e uma fase $ \phi $. A matéria que vamos usar aqui é sobre ondas e como combinar funções trigonométricas. Vamos precisar entender como transformar a forma combinada em uma única função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão original da onda:
(x, t) = A cos(k x - omega t) + B sin(k x - omega t)
Queremos escrever essa expressão como:
(x, t) = D sin(k x - omega t - phi)
Para fazer isso, usamos uma identidade trigonométrica que combina cosseno e seno em uma única função seno com uma amplitude e uma fase diferentes.

Passo 3

A identidade que usamos é:
A cos(theta) + B sin(theta) = raizA^2 + B^2 cdot sin(theta + phi)
onde $ \phi = \arctan\left(\frac{A}{B}\right) $.
Aqui, $ \theta $ é $ k x - \omega t $, então podemos identificar que:
phi = arctan(AB)
e
theta

Passo 4

Agora, vamos analisar as alternativas da parte (a). Queremos encontrar qual delas representa corretamente $ D $ em termos de $ A $ e $ B $.
As opções são:
i. $ D = A + B $
ii. $ D = |A| + |B| $
iii. $ D^{2} = A^{2} + B^{2} $
iv. $ D = A - B $
Da nossa identidade, sabemos que $ D = \sqrt{A^2 + B^2} $. Isso significa que $ D^2 = A^2 + B^2 $.

Passo 5

Analisando as opções, vemos que a opção iii está correta, pois corresponde a $ D^{2} = A^{2} + B^{2} $.
Agora, na parte (b), precisamos encontrar a expressão correta para $ \phi $.
As opções são:
i. $ \phi = \operatorname{arctg}\left(\frac{A}{B}\right) $
ii. $ \phi = \operatorname{arctg}\left(\frac{B}{A}\right) $
iii. $ \phi = \operatorname{arctg}\left(\frac{-A}{B}\right) $
iv. $ \phi = 0 $

Passo 6

Seguindo a identidade, sabemos que:
phi = arctan(AB)
Portanto, a opção i está correta.

Resposta

(a) iii. $ D^{2} = A^{2} + B^{2} $
(b) i. $ \phi = \operatorname{arctg}\left(\frac{A}{B}\right) $

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