Uma onda senoidal transversal é gerada em uma das extremidades de uma longa corda horizontal através de uma barra, cuja extremidade é movimentada para cima e para baixo dentro de um percurso de 1,30 cm. O movimento é contínuo e repetido regularmente 125 vezes por segundo.
(a) Se a distância observada entre duas cristas de onda adjacentes é de 15,6 cm, encontre a amplitude, a frequência, a velocidade e o comprimento de onda do movimento ondulatório.
(b) Admitindo-se que a onda se mova no sentido positivo de x e que, em t=0, o elemento da corda em x=0 está na posição de equilíbrio y=0 e se movendo para baixo, encontre a equação da onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda senoidal transversal gerada numa corda horizontal. Temos que:
  • Conteúdo da matéria: Ondas transversais e suas propriedades.
  • O que vamos precisar para resolver:
    • Conceitos de amplitude, frequência, velocidade e comprimento de onda.
    • Fórmulas que relacionam essas grandezas.
    • Entender como construir a equação da onda.
Vamos resolver as partes (a) e (b) passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Encontrar amplitude, frequência, velocidade e comprimento de onda.
Primeiro, vamos identificar cada um desses termos:
  • Amplitude (A): É a máxima deslocação da corda em relação à posição de equilíbrio. No enunciado, a barra se desloca 1,30 cm para cima e para baixo, então a amplitude é metade desse percurso.
    A = 1,30, cm2 = 0,65, cm

Passo 3

  • Frequência (f): É o número de oscilações que a barra realiza por segundo. O enunciado já nos diz que são 125 vezes por segundo.
    f = 125, Hz

Passo 4

  • Comprimento de onda ( lambda = 15,6, cm ): É a distância entre duas cristas consecutivas da onda. No caso, foi dado como 15,6 cm.

Passo 5

  • Velocidade da onda (v): Podemos calcular usando a fórmula que relaciona velocidade, frequência e comprimento de onda:
    v = lambda times f
    Substituindo os valores que já encontramos:
    v = 15,6, cm times 125, Hz = 1950, cm/s
    Convertendo para metros por segundo para ficar mais comum:
    v = 1950, cm/s = 19,5, m/s

Passo 6

Resumo da Parte (a):
  • Amplitude (A): 0,65 cm
  • Frequência (f): 125 Hz
  • Velocidade (v): 19,5 m/s
  • Comprimento de onda ( ): 15,6 cm

Passo 7

Parte (b): Encontrar a equação da onda.
A equação geral de uma onda que se move na direção positiva de y(x, t) = A sin(kx - omega t + phi) é:
Onde:
  • é a amplitude.
  • é o número de onda, dado por .
  • é a frequência angular, dada por .
  • é a fase inicial.
Vamos determinar cada um desses componentes.

Passo 8

  • Número de onda (k):
    k = 2pilambda = 2pi0,156, m approx 40,42, rad/m
  • Frequência angular ( omega = 2pi f = 2pi times 125, Hz = 250pi, rad/s ):

Passo 9

  • Fase inicial ( ): Pelo enunciado, em , no ponto , a corda está na posição de equilíbrio e movendo para baixo. Isso significa que a derivada em relação ao tempo deve ser negativa. A função seno presume que, quando , o movimento está iniciando na direção positiva. Para que o movimento inicie na direção negativa, a fase inicial deve ser .

Passo 10

Substituindo todos os valores na equação da onda:
y(x, t) = 0,0065, m times sin(40,42, x - 250pi, t + 3pi2)
(Considerando que 0,65 cm = 0,0065 m e 15,6 cm = 0,156 m)

Resposta

Parte (a):
  • Amplitude y(x, t) = 0,0065, m times sin(40,42, x - 250pi, t + 3pi2)
  • Frequência
  • Velocidade
  • Comprimento de onda
Parte (b):
A equação da onda é

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