Uma onda senoidal é gerada em uma das pontas de uma corda através de uma barra, cuja extremidade é movimentada para cima e para baixo dentro de um percurso de 1,16 cm. O movimento é contínuo e repetido =7^star 15 vezes por segundo, estando duas cristas consecutivas a uma distância de 14,33 cm. Encontre a velocidade transversal da onda em t=1,91 se x=2,88 m da onda em cm / s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma onda senoidal numa corda onde a extremidade é movida para cima e para baixo com um percurso de 1,16 cm. Esse movimento ocorre 7,15 vezes por segundo. Além disso, duas cristas consecutivas estão separadas por 14,33 cm. A gente precisa encontrar a velocidade transversal da onda em t = 1,91 segundos e x = 2,88 metros, e expressar o resultado em cm/s.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Amplitude (A): 1,16 cm
  • Frequência (f): 7,15 Hz (vezes por segundo)
  • Comprimento de onda (λ): 14,33 cm
  • Tempo (t): 1,91 s
  • Posição (x): 2,88 m

Passo 3

Vamos lembrar que a velocidade de uma onda pode ser calculada usando a fórmula:
v = lambda times f
Onde:
  • é a velocidade da onda,
  • é o comprimento de onda,
  • é a frequência.

Passo 4

Antes de calcular a velocidade da onda, vamos converter todas as unidades para o mesmo sistema. Vamos deixar o comprimento de onda em metros:
lambda = 14,33 , cm = 0,1433 , m

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da velocidade da onda:
v = lambda times f = 0,1433 , m times 7,15 , Hz = 1,025 , m/s

Passo 6

Entretanto, o exercício pede a velocidade transversal da onda, que é a velocidade de uma partícula da corda se movendo para cima e para baixo. Para isso, precisamos usar a derivada da função de onda em relação ao tempo.
A função de onda senoidal pode ser expressa como:
y(x, t) = A sin(kx - omega t)
Onde:
  • é a amplitude,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular.

Passo 7

Calculando k = 2pilambda = 2pi0,1433 approx 43,82 , rad/m e omega = 2pi f = 2pi times 7,15 approx 44,88 , rad/s :

Passo 8

A velocidade transversal vy = partial ypartial t = -A omega cos(kx - omega t) é a derivada de em relação ao tempo:

Passo 9

Substituindo os valores conhecidos:
vy = -1,16 , cm times 44,88 , rad/s times cos(43,82 times 2,88 - 44,88 times 1,91)
Primeiro, calculamos o argumento do cosseno:
43,82 times 2,88 = 126,29 , rad
44,88 times 1,91 = 85,80 , rad
126,29 - 85,80 = 40,49 , rad
Então:
vy = -1,16 times 44,88 times cos(40,49) , cm/s

Passo 10

Calculando o cosseno:
cos(40,49 , rad) approx cos(40,49) approx 0,7431
Então:
vy = -1,16 times 44,88 times 0,7431 approx -38,63 , cm/s

Resposta

A velocidade transversal da onda é aproximadamente -38,63 cm/s.

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