Uma onda senoidal é gerada em uma das pontas de uma corda através de uma barra, cuja extremidade é movimentada para cima e para baixo dentro de um percurso de
. O movimento é contínuo e repetido
vezes por segundo, estando duas cristas consecutivas a uma distância de
. Encontre a velocidade transversal da onda em
da onda em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma onda senoidal numa corda onde a extremidade é movida para cima e para baixo com um percurso de 1,16 cm. Esse movimento ocorre 7,15 vezes por segundo. Além disso, duas cristas consecutivas estão separadas por 14,33 cm. A gente precisa encontrar a velocidade transversal da onda em t = 1,91 segundos e x = 2,88 metros, e expressar o resultado em cm/s.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Amplitude (A): 1,16 cm
- Frequência (f): 7,15 Hz (vezes por segundo)
- Comprimento de onda (λ): 14,33 cm
- Tempo (t): 1,91 s
- Posição (x): 2,88 m
Passo 3
Vamos lembrar que a velocidade de uma onda pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
é a velocidade da onda, -
é o comprimento de onda, -
é a frequência.
Passo 4
Antes de calcular a velocidade da onda, vamos converter todas as unidades para o mesmo sistema. Vamos deixar o comprimento de onda em metros:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da velocidade da onda:
Passo 6
Entretanto, o exercício pede a velocidade transversal da onda, que é a velocidade de uma partícula da corda se movendo para cima e para baixo. Para isso, precisamos usar a derivada da função de onda em relação ao tempo.
A função de onda senoidal pode ser expressa como:
Onde:
-
é a amplitude, -
é o número de onda, -
é a frequência angular.
Passo 7
Calculando
e
:
Passo 8
A velocidade transversal
é a derivada de
em relação ao tempo:
Passo 9
Substituindo os valores conhecidos:
Primeiro, calculamos o argumento do cosseno:
Então:
Passo 10
Calculando o cosseno:
Então:
Resposta
A velocidade transversal da onda é aproximadamente -38,63 cm/s.