Uma onda senoidal é produzida em uma corda sob tensão e transporta energia a uma taxa média Pm e d, 1. Duas ondas, iguais à primeira, são em seguida produzida na corda com uma diferença de fase varphi de 0; 0,2 ou 0,5 comprimento de onda.
a. Apenas com cálculos mentais, ordene essas opções de varphi de acordo com a taxa média com a qual as cordas transportam energia, em ordem decrescente.
b. Para a primeira opção de varphi, qual é a taxa média em termos de Pm e d, 1 ?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma corda sob tensão onde uma onda senoidal transporta energia a uma taxa média Pm e d, 1. Depois, produzimos duas ondas iguais à primeira, mas com uma diferença de fase varphi que pode ser 0, 0,2 ou 0,5 vezes o comprimento de onda. Precisamos ordenar essas opções de varphi de acordo com a taxa média de energia transportada e, para a primeira opção de varphi, calcular essa taxa em termos de Pm e d, 1. Para resolver, vamos usar conceitos de interferência de ondas e como a fase afeta a energia transportada.

Passo 2

Primeiro, sabemos que quando duas ondas se propagam na mesma direção na corda, a diferença de fase entre elas afeta a interferência resultante. Se as ondas estão em fase ( varphi = 0), elas interferem construtivamente, aumentando a amplitude e, consequentemente, a energia transportada. Se estiverem fora de fase, a interferência pode ser destrutiva, reduzindo a amplitude e a energia.

Passo 3

A energia transportada por uma onda é proporcional ao quadrado da sua amplitude. Quando temos duas ondas idênticas com amplitude A, a amplitude resultante Atotal quando elas interferem é dada por:
Atotal = 2A cos(varphi2)
Isso significa que a potência média Ptotal transportada pelas duas ondas é:
Ptotal propto Atotal^2 = (2A cos(varphi2))^2 = 4A^2 cos^2(varphi2)

Passo 4

Sabemos que a potência média de uma única onda é Pmed,1 propto A^2. Portanto, podemos relacionar as duas potências:
Ptotal = 4 cos^2(varphi2) Pmed,1
Essa fórmula nos mostra como a diferença de fase varphi afeta a potência total transportada pelas duas ondas.

Passo 5

Agora, vamos calcular Ptotal para cada valor de varphi dado:
  1. varphi = 0:
Ptotal = 4 cos^2(0) Pmed,1 = 4 times 1 times Pmed,1 = 4 Pmed,1
  1. varphi = 0,2 lambda:
    Primeiro, convertemos varphi para radianos. Sabemos que um comprimento de onda lambda corresponde a 2pi radianos, então:
varphi = 0,2 lambda = 0,2 times 2pi = 0,4pi radianos
Então:
Ptotal = 4 cos^2(0,4pi2) Pmed,1 = 4 cos^2(0,2pi) Pmed,1
cos(0,2pi) = cos(72^circ) approx 0,3090
Ptotal approx 4 times (0,3090)^2 times Pmed,1 approx 4 times 0,0955 times Pmed,1 approx 0,382 Pmed,1
  1. varphi = 0,5 lambda:
    Convertendo para radianos:
varphi = 0,5 lambda = 0,5 times 2pi = pi radianos
Então:
Ptotal = 4 cos^2(pi2) Pmed,1 = 4 cos^2(pi2) Pmed,1
cos(pi2) = 0
Ptotal = 4 times 0 times Pmed,1 = 0

Resposta

a. A ordem decrescente da taxa média de energia transportada é: varphi = 0, varphi = 0,2 lambda, varphi = 0,5 lambda.
b. Para varphi = 0, a taxa média de energia transportada é 4 Pmed,1.

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