Qual das seguintes funções não é uma solução para a equação da onda?
(a) y=sen x cos t.
(b) y=tan (x+t).
© y=x^3-6 x^2 t+12 x t^2-8 t.
(d) y=sen(x+1) cos (x-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir qual das funções listadas não resolve a equação da onda. Isso envolve entender um pouquinho sobre equações diferenciais parciais, especificamente a equação da onda. Vamos precisar calcular derivadas parciais das funções dadas para verificar se elas satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da onda. Em uma dimensão, ela é dada por:
partial^2 ypartial t^2 = c^2 partial^2 ypartial x^2
Aqui, partial^2 ypartial t^2 = partial^2 ypartial x^2 é a função que descreve a onda, é o tempo, é a posição, e é a velocidade da onda. Para simplificar, vamos assumir que . Assim, nossa equação fica:
Vamos verificar cada função para ver se ela satisfaz essa equação.

Passo 3

Opção (a):
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em partial ypartial t = -sen x sen t :
Segunda derivada em partial^2 ypartial t^2 = -sen x cos t :
Primeira derivada em partial ypartial x = cos x cos t :
partial^2 ypartial x^2 = -sen x cos t
Segunda derivada em partial^2 ypartial t^2 = -sen x cos t :
Agora, vamos comparar:
Vemos que partial^2 ypartial x^2 = -sen x cos t , então a função satisfaz a equação da onda.

Passo 4

Opção (b): partial ypartial t = sec^2(x + t)
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em partial^2 ypartial t^2 = 2sec^2(x + t)tan(x + t) :
partial ypartial x = sec^2(x + t)
Segunda derivada em partial^2 ypartial x^2 = 2sec^2(x + t)tan(x + t) :
partial^2 ypartial t^2 = 2sec^2(x + t)tan(x + t)
Primeira derivada em partial^2 ypartial x^2 = 2sec^2(x + t)tan(x + t) :
Segunda derivada em :
Comparando:
Aqui também temos , então a função satisfaz a equação da onda.

Passo 5

Opção ©: partial ypartial t = -6x^2 + 24x t - 8
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em partial^2 ypartial t^2 = 24x :
partial ypartial x = 3x^2 - 12x t + 12 t^2
Segunda derivada em partial^2 ypartial x^2 = 6x - 12 t :
partial^2 ypartial t^2 = 24x
Primeira derivada em partial^2 ypartial x^2 = 6x - 12 t :
Segunda derivada em :
Agora, vamos comparar:
Claramente, , então a função não satisfaz a equação da onda.

Passo 6

Opção (d):
Vamos simplificar essa função primeiro usando uma identidade trigonométrica:
Aplicando:
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em sen A cos B = 12 [sen(A + B) + sen(A - B)] :
Como y = 12 [sen(2x) + sen(2)] não depende de partial ypartial t = 0 , todas as derivadas em partial^2 ypartial t^2 = 0 serão zero:
partial ypartial x = 12 [2cos(2x) + 0] = cos(2x)
partial^2 ypartial x^2 = -2sen(2x)
Primeira derivada em partial^2 ypartial t^2 = 0 :
partial^2 ypartial x^2 = -2sen(2x)
Segunda derivada em :
Comparando:
Não temos para toda , então a função não satisfaz a equação da onda. Mas como já encontramos na opção © uma que não satisfaz, essa também não é solução.

Resposta

A função que não é solução para a equação da onda é a opção ©:
y = x^3 - 6x^2 t + 12x t^2 - 8t

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