Qual das seguintes funções não é uma solução para a equação da onda?
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir qual das funções listadas não resolve a equação da onda. Isso envolve entender um pouquinho sobre equações diferenciais parciais, especificamente a equação da onda. Vamos precisar calcular derivadas parciais das funções dadas para verificar se elas satisfazem essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da onda. Em uma dimensão, ela é dada por:
Aqui,
é a função que descreve a onda,
é o tempo,
é a posição, e
é a velocidade da onda. Para simplificar, vamos assumir que
. Assim, nossa equação fica:
Vamos verificar cada função para ver se ela satisfaz essa equação.
Passo 3
Opção (a):
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Agora, vamos comparar:
Vemos que
, então a função satisfaz a equação da onda.
Passo 4
Opção (b):
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Comparando:
Aqui também temos
, então a função satisfaz a equação da onda.
Passo 5
Opção ©:
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Agora, vamos comparar:
Claramente,
, então a função não satisfaz a equação da onda.
Passo 6
Opção (d):
Vamos simplificar essa função primeiro usando uma identidade trigonométrica:
Aplicando:
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em
:
Como não depende de
, todas as derivadas em
serão zero:
Como
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Comparando:
Não temos para toda
, então a função não satisfaz a equação da onda. Mas como já encontramos na opção © uma que não satisfaz, essa também não é solução.
Resposta
A função que não é solução para a equação da onda é a opção ©:
Exercícios relacionados
Um pêndulo é constituído por um corpo de massa
pendurado por um fio de comprimento
. O corpo é desviado da vertical, de modo a fazer um ângulo
com esta vertical e depois libertado.
b). Achar a tensão no fio, também no ponto mais baixo.
(resposta: a) ; b)
.)
b). Achar a tensão no fio, também no ponto mais baixo.
(resposta: a)
Uma onda senoidal transversal é gerada em uma das extremidades de uma longa corda horizontal através de uma barra, cuja extremidade é movimentada para cima e para baixo dentro de um percurso de
. O movimento é contínuo e repetido regularmente 125 vezes por segundo.
Admitindo-se que a onda se mova no sentido positivo de e que, em
, o elemento da corda em
está na posição de equilíbrio
e se movendo para baixo, encontre a equação da onda.
Admitindo-se que a onda se mova no sentido positivo de
Duas ondas movendo-se ao longo da mesma corda são definidas por
e
. A amplitude da onda resultante é
(a) 0.
(b) 2 .
© .
(d) 4.
(a) 0.
(b) 2 .
©
(d) 4.
Quando duas ondas interferem, uma altera a progressão da outra? Quando duas ondas interferem, ocorre perda de energia? Explique sua resposta.