Qual das seguintes funções não é uma solução para a equação da onda?
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir qual das funções listadas não resolve a equação da onda. Isso envolve entender um pouquinho sobre equações diferenciais parciais, especificamente a equação da onda. Vamos precisar calcular derivadas parciais das funções dadas para verificar se elas satisfazem essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da onda. Em uma dimensão, ela é dada por:
Aqui,
é a função que descreve a onda,
é o tempo,
é a posição, e
é a velocidade da onda. Para simplificar, vamos assumir que
. Assim, nossa equação fica:
Vamos verificar cada função para ver se ela satisfaz essa equação.
Passo 3
Opção (a):
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Agora, vamos comparar:
Vemos que
, então a função satisfaz a equação da onda.
Passo 4
Opção (b):
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Comparando:
Aqui também temos
, então a função satisfaz a equação da onda.
Passo 5
Opção ©:
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Agora, vamos comparar:
Claramente,
, então a função não satisfaz a equação da onda.
Passo 6
Opção (d):
Vamos simplificar essa função primeiro usando uma identidade trigonométrica:
Aplicando:
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais:
Primeira derivada em
:
Como não depende de
, todas as derivadas em
serão zero:
Como
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Comparando:
Não temos para toda
, então a função não satisfaz a equação da onda. Mas como já encontramos na opção © uma que não satisfaz, essa também não é solução.
Resposta
A função que não é solução para a equação da onda é a opção ©: