Uma onda sonora harmônica propaga-se em um tubo cilíndrico com velocidade
. Observase que o deslocamento longitudinal da seção do tubo localizada em
é dado por
. Considerando
(pressão de repouso do ar),
(densidade de repouso do ar) e
(constante adiabática do ar), responda os itens abaixo:
(B) Qual o comprimento da onda?
(B) Qual o comprimento da onda?
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma onda sonora harmônica que se propaga em um tubo cilíndrico com velocidade
. O deslocamento longitudinal na posição
é dado por
. Precisamos encontrar o comprimento da onda, ou seja, o comprimento de uma oscilação completa da onda. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de ondas harmônicas, velocidade de propagação e relação entre frequência e comprimento de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma onda harmônica pode ser descrita pela função:
onde:
-
é a amplitude, -
é o número de onda, -
é a frequência angular, -
é a posição, -
é o tempo.
No ponto
, a equação simplifica para:
Mas no enunciado, foi dado que:
Isso nos indica que
, mas como a função seno é ímpar, podemos considerar
para simplificar.
Passo 3
Sabemos que a velocidade de propagação da onda (
) está relacionada à frequência (
) e ao comprimento da onda (
) pela fórmula:
Também sabemos que a frequência angular (
) está relacionada à frequência (
) por:
Vamos reorganizar a primeira equação para encontrar o comprimento da onda:
Passo 4
Para encontrar
, usamos a relação entre
e
:
Como identificamos que
, substituímos:
Passo 5
Agora substituímos
na equação do comprimento da onda:
Resposta
O comprimento da onda é: