Uma onda sonora harmônica propaga-se em um tubo cilíndrico com velocidade V. Observase que o deslocamento longitudinal da seção do tubo localizada em x=0 é dado por U=A sin (alpha t). Considerando P0 (pressão de repouso do ar), rho0 (densidade de repouso do ar) e gamma (constante adiabática do ar), responda os itens abaixo:
(B) Qual o comprimento da onda?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma onda sonora harmônica que se propaga em um tubo cilíndrico com velocidade V. O deslocamento longitudinal na posição x=0 é dado por U = A sin(alpha t). Precisamos encontrar o comprimento da onda, ou seja, o comprimento de uma oscilação completa da onda. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de ondas harmônicas, velocidade de propagação e relação entre frequência e comprimento de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma onda harmônica pode ser descrita pela função:
U(x, t) = A sin(kx - omega t)
onde:
  • A é a amplitude,
  • k é o número de onda,
  • omega é a frequência angular,
  • x é a posição,
  • t é o tempo.
No ponto x=0, a equação simplifica para:
U(0, t) = A sin(-omega t) = A sin(omega t + pi)
Mas no enunciado, foi dado que:
U(0, t) = A sin(alpha t)
Isso nos indica que alpha = -omega, mas como a função seno é ímpar, podemos considerar alpha = omega para simplificar.

Passo 3

Sabemos que a velocidade de propagação da onda ( V) está relacionada à frequência ( f) e ao comprimento da onda ( lambda) pela fórmula:
V = f lambda
Também sabemos que a frequência angular ( omega) está relacionada à frequência ( f) por:
omega = 2pi f
Vamos reorganizar a primeira equação para encontrar o comprimento da onda:
lambda = Vf

Passo 4

Para encontrar f, usamos a relação entre omega e f:
f = omega2pi
Como identificamos que omega = alpha, substituímos:
f = alpha2pi

Passo 5

Agora substituímos f na equação do comprimento da onda:
lambda = Valpha2pi = 2pi Valpha

Resposta

O comprimento da onda é:
lambda = 2pi Valpha

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