Uma onda sonora harmônica propaga-se em um tubo cilíndrico com velocidade . Observase que o deslocamento longitudinal da seção do tubo localizada em é dado por . Considerando (pressão de repouso do ar), (densidade de repouso do ar) e (constante adiabática do ar), responda os itens abaixo:
(B) Qual o comprimento da onda?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma onda sonora harmônica que se propaga em um tubo cilíndrico com velocidade . O deslocamento longitudinal na posição é dado por . Precisamos encontrar o comprimento da onda, ou seja, o comprimento de uma oscilação completa da onda. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de ondas harmônicas, velocidade de propagação e relação entre frequência e comprimento de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma onda harmônica pode ser descrita pela função:
onde:
  • é a amplitude,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a posição,
  • é o tempo.
No ponto , a equação simplifica para:
Mas no enunciado, foi dado que:
Isso nos indica que , mas como a função seno é ímpar, podemos considerar para simplificar.

Passo 3

Sabemos que a velocidade de propagação da onda ( ) está relacionada à frequência ( ) e ao comprimento da onda ( ) pela fórmula:
Também sabemos que a frequência angular ( ) está relacionada à frequência ( ) por:
Vamos reorganizar a primeira equação para encontrar o comprimento da onda:

Passo 4

Para encontrar , usamos a relação entre e :
Como identificamos que , substituímos:

Passo 5

Agora substituímos na equação do comprimento da onda:

Resposta

O comprimento da onda é:

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© Escreva a função de onda do deslocamento para as seções transversais do tubo.