Ondas harmônicas são definidas pela função de onda:
em que
. Mostre que esta função satisfaz à equação de onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de uma onda harmônica, que é:
E também nos informa que a velocidade da onda
é dada por
. Nosso objetivo é mostrar que essa função satisfaz à equação da onda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e aplicar a própria equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a equação da onda. Em uma dimensão, ela é dada por:
Isso significa que a segunda derivada da função
em relação a
deve ser igual a
vezes a segunda derivada de
em relação ao
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de
em relação a
.
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de
em relação a
.
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação da onda para verificar se ela é satisfeita.
Substituindo
e
na equação da onda:
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
(desde que
e
):
Passo 7
Lembrando que
, vamos substituir
por
:
Isso confirma que a igualdade é verdadeira.
Resposta
Portanto, mostramos que a função
satisfaz à equação da onda.
Exercícios relacionados
Um pistão sem atrito permite uma pressão constante em um cilindro com 4 kg de vapor saturado originalmente a
. Se 4000 kJ de calor for adicionado ao vapor, faça a estimativa da temperatura final.
Permite-se expandir 20 kg de nitrogênio em um processo politrópico de acordo com a equação
. Inicialmente, o nitrogênio está a 500 kPa com um volume de
. O volume final é de
. Calcule o trabalho feito durante este processo e a quantidade de transferência de calor transferido do sistema se
.
Uma corrente se divide tomando dois caminhos paralelos cuja resistência equivalente vale
. Sabendose que as intensidades das correntes nos dois caminhos são respectivamente 16 A e 4 A. Encontre a resistência de cada um destes respectivos caminhos.
18-29 Que massa de vapor de água a
deve ser misturada com 150 g de gelo no seu ponto de fusão, em um recipiente isolado termicamente, para produzir água líquida a
? De quanto varia a entropia do sistema vapor-água até o equilíbrio ser alcançado?
,agua
.