Ondas harmônicas são definidas pela função de onda:
y(x, t)=A sen(k x-omega t)
em que v=omega / k. Mostre que esta função satisfaz à equação de onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de uma onda harmônica, que é:
y(x, t) = A sen(k x - omega t)
E também nos informa que a velocidade da onda é dada por . Nosso objetivo é mostrar que essa função satisfaz à equação da onda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e aplicar a própria equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a equação da onda. Em uma dimensão, ela é dada por:
partial^2 ypartial x^2 = 1v^2 partial^2 ypartial t^2
Isso significa que a segunda derivada da função em relação a deve ser igual a vezes a segunda derivada de em relação ao .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de partial ypartial x = A k cos(k x - omega t) em relação a partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 sen(k x - omega t) .
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de partial ypartial t = -A omega cos(k x - omega t) em relação a partial^2 ypartial t^2 = -A omega^2 sen(k x - omega t) .
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação da onda para verificar se ela é satisfeita.
Substituindo - A k^2 sen(k x - omega t) = 1v^2 (- A omega^2 sen(k x - omega t)) e na equação da onda:

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por k^2 = omega^2v^2 (desde que e ):

Passo 7

Lembrando que k^2 = omega^2( omegak )^2 = omega^2omega^2k^2 = k^2 , vamos substituir por :
Isso confirma que a igualdade é verdadeira.

Resposta

Portanto, mostramos que a função satisfaz à equação da onda.

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