Ondas harmônicas são definidas pela função de onda:
em que
. Mostre que esta função satisfaz à equação de onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de uma onda harmônica, que é:
E também nos informa que a velocidade da onda
é dada por
. Nosso objetivo é mostrar que essa função satisfaz à equação da onda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e aplicar a própria equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a equação da onda. Em uma dimensão, ela é dada por:
Isso significa que a segunda derivada da função
em relação a
deve ser igual a
vezes a segunda derivada de
em relação ao
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de
em relação a
.
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de
em relação a
.
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação da onda para verificar se ela é satisfeita.
Substituindo
e
na equação da onda:
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
(desde que
e
):
Passo 7
Lembrando que
, vamos substituir
por
:
Isso confirma que a igualdade é verdadeira.
Resposta
Portanto, mostramos que a função
satisfaz à equação da onda.