Ondas senoidais de amplitude de 5 cm devem ser transmitidas ao longo de uma corda que tenha densidade de massa linear igual a 4 times 10^-2 kg / m. Se a fonte puder fornecer uma potência máxima de 300 W e a corda estiver sob uma tensão de 100 N , qual é a frequência vibratória na qual a fonte pode operar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre ondas senoidais que precisam viajar por uma corda. A gente sabe que a amplitude dessas ondas é de 5 cm, a densidade de massa linear da corda é 4 times 10^-2 , kg/m, a tensão na corda é de 100 N e a fonte que gera as ondas pode fornecer no máximo 300 W de potência. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a frequência vibratória que a fonte pode usar sem exceder essa potência máxima.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a velocidade da onda na corda está relacionada com a tensão e a densidade de massa linear. A velocidade v da onda numa corda é dada pela fórmula:
v = raizTmu
onde:
  • T é a tensão na corda (100 N)
  • mu é a densidade de massa linear ( 4 times 10^-2 , kg/m)
Vamos calcular essa velocidade.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
v = raiz1004 times 10^-2 = raiz2500 = 50 , m/s
Então, a velocidade da onda na corda é de 50 m/s.

Passo 4

Agora, precisamos relacionar a potência P da onda com sua amplitude A, frequência f, massa linear mu e velocidade v. A potência transportada por uma onda numa corda é dada por:
P = 12 mu omega^2 A^2 v
onde:
  • omega é a frequência angular, relacionada à frequência normal por omega = 2pi f
  • A é a amplitude da onda (5 cm = 0,05 m)
Vamos substituir omega na equação:
P = 12 mu (2pi f)^2 A^2 v
Simplificando:
P = 2pi^2 mu f^2 A^2 v

Passo 5

Queremos encontrar a frequência f que a fonte pode operar sem exceder os 300 W de potência. Vamos reorganizar a equação para resolver f:
f = raizP2pi^2 mu A^2 v
Agora, substituindo os valores conhecidos:
f = raiz3002pi^2 times 4 times 10^-2 times (0,05)^2 times 50

Passo 6

Vamos calcular o denominador primeiro:
2pi^2 times 4 times 10^-2 times 0,0025 times 50 = 2 times 9,8696 times 4 times 10^-2 times 0,0025 times 50
= 19,7392 times 0,04 times 0,0025 times 50
= 19,7392 times 0,0001 times 50
= 19,7392 times 0,005
= 0,098696
Agora, a frequência:
f = raiz3000,098696 approx raiz3041,27 approx 55,15 , Hz

Resposta

A frequência vibratória na qual a fonte pode operar é aproximadamente 55,15 Hz.

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