Um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V se diz positivo definido se, e só se, todos os seus valores próprios são maiores que zero. Supondo a dimensão de V finita, mostrar que: A é positivo definido se, e somente se,
para todo vetor não nulo
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A questão fala sobre operadores auto-adjuntos em um espaço euclidiano
de dimensão finita e define o que significa um operador ser positivo definido. Nossa missão é mostrar que um operador
é positivo definido se e somente se o produto interno
é maior que zero para todo vetor não nulo
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de operadores auto-adjuntos, valores próprios e a definição de positivo definido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador
em
é auto-adjunto se
para todos
. Isso garante que
tem propriedades que nos facilitam o trabalho com seus valores próprios e vetores próprios.
Passo 3
Agora, a definição de positivo definido: um operador
é positivo definido se todos os seus valores próprios são maiores que zero. Em outras palavras, não existe nenhum valor próprio
de
tal que
.
Passo 4
Vamos analisar a condição
para todo vetor não nulo
. Essa expressão é conhecida como forma quadrática associada a
. Ela nos dá uma maneira de relacionar o operador
com as propriedades dos vetores em
.
Passo 5
Vamos provar a implicação direta: se
é positivo definido, então
para todo vetor não nulo
.
Como
é positivo definido, sabemos que todos os seus valores próprios
. Se
é uma combinação linear dos vetores próprios de
, digamos
, então:
Pois cada
e
não é o vetor nulo, então pelo menos um
é diferente de zero. Assim, a soma é positiva.
Passo 6
Agora, vamos provar a implicação inversa: se
para todo vetor não nulo
, então
é positivo definido.
Assumimos que para todo
,
. Como
é auto-adjunto, podemos diagonalizá-lo e escrever
na base de seus vetores próprios. Assim:
Para que essa soma seja sempre positiva, mesmo que apenas um
seja diferente de zero, é necessário que todos os
. Portanto,
tem todos os valores próprios positivos, o que significa que
é positivo definido.
Resposta
Concluímos que um operador auto-adjunto
em um espaço euclidiano
de dimensão finita é positivo definido se e somente se
para todo vetor não nulo
.
Exercícios relacionados
Sabendo que o ponto
pertence à reta que passa pelos pontos
e
, determine
e
.
Seja
definida por
. Achar os valores próprios de A.
Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de
.
© e
;
©
Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de
.
(a) e
(a)