Um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V se diz positivo definido se, e só se, todos os seus valores próprios são maiores que zero. Supondo a dimensão de V finita, mostrar que: A é positivo definido se, e somente se, para todo vetor não nulo .

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A questão fala sobre operadores auto-adjuntos em um espaço euclidiano de dimensão finita e define o que significa um operador ser positivo definido. Nossa missão é mostrar que um operador é positivo definido se e somente se o produto interno é maior que zero para todo vetor não nulo . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de operadores auto-adjuntos, valores próprios e a definição de positivo definido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador em é auto-adjunto se para todos . Isso garante que tem propriedades que nos facilitam o trabalho com seus valores próprios e vetores próprios.

Passo 3

Agora, a definição de positivo definido: um operador é positivo definido se todos os seus valores próprios são maiores que zero. Em outras palavras, não existe nenhum valor próprio de tal que .

Passo 4

Vamos analisar a condição para todo vetor não nulo . Essa expressão é conhecida como forma quadrática associada a . Ela nos dá uma maneira de relacionar o operador com as propriedades dos vetores em .

Passo 5

Vamos provar a implicação direta: se é positivo definido, então para todo vetor não nulo .
Como é positivo definido, sabemos que todos os seus valores próprios . Se é uma combinação linear dos vetores próprios de , digamos , então:
Pois cada e não é o vetor nulo, então pelo menos um é diferente de zero. Assim, a soma é positiva.

Passo 6

Agora, vamos provar a implicação inversa: se para todo vetor não nulo , então é positivo definido.
Assumimos que para todo , . Como é auto-adjunto, podemos diagonalizá-lo e escrever na base de seus vetores próprios. Assim:
Para que essa soma seja sempre positiva, mesmo que apenas um seja diferente de zero, é necessário que todos os . Portanto, tem todos os valores próprios positivos, o que significa que é positivo definido.

Resposta

Concluímos que um operador auto-adjunto em um espaço euclidiano de dimensão finita é positivo definido se e somente se para todo vetor não nulo .

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© e ;
Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de .
(a) e