Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de .
© e ;

Passo 1

Vamos verificar se os vetores , e formam uma base em . Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente a ideia de independência linear e determinantes. Precisamos saber se esses vetores são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Uma forma prática de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores.

Passo 2

Primeiro, organizamos os vetores como colunas de uma matriz :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é calculado da seguinte forma:

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:

Passo 6

Somando os resultados:

Resposta

Como o determinante , os vetores , e são linearmente independentes e, portanto, formam uma base em .

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Um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V se diz positivo definido se, e só se, todos os seus valores próprios são maiores que zero. Supondo a dimensão de V finita, mostrar que: A é positivo definido se, e somente se, para todo vetor não nulo .
Sabendo que o ponto pertence à reta que passa pelos pontos e , determine e .
Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de .
(a) e
Seja definida por . Achar em base ortonormal do tal que (A) é diagonal.