Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de R^3.
© (1,2,2),(-1,2,1) e (0,8,0);

Passo 1

Vamos verificar se os vetores , e formam uma base em . Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente a ideia de independência linear e determinantes. Precisamos saber se esses vetores são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Uma forma prática de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores.

Passo 2

Primeiro, organizamos os vetores como colunas de uma matriz A = 1 & -1 & 0 2 & 2 & 8 2 & 1 & 0 :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz a & b & c d & e & f g & h & i det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é calculado da seguinte forma:

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
det(A) = 1 times (2 times 0 - 8 times 1) - (-1) times (2 times 0 - 8 times 2) + 0 times (2 times 1 - 2 times 2)

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
1 times (0 - 8) = 1 times (-8) = -8
-(-1) times (0 - 16) = 1 times (-16) = -16
0 times (2 - 4) = 0 times (-2) = 0

Passo 6

Somando os resultados:
-8 - 16 + 0 = -24

Resposta

Como o determinante , os vetores , e são linearmente independentes e, portanto, formam uma base em .

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