Vamos verificar se os vetores , e formam uma base em . Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente a ideia de independência linear e determinantes. Precisamos saber se esses vetores são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Uma forma prática de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores.
Passo 2
Primeiro, organizamos os vetores como colunas de uma matriz :
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é calculado da seguinte forma:
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente:
Passo 6
Somando os resultados:
Resposta
Como o determinante , os vetores , e são linearmente independentes e, portanto, formam uma base em .