Vamos verificar se os vetores , e formam uma base em . Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente a ideia de independência linear e determinantes. Precisamos saber se esses vetores são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Uma forma prática de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores.
Passo 2
Primeiro, organizamos os vetores como colunas de uma matriz :
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz a & b & c d & e & f g & h & i det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é calculado da seguinte forma:
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
det(A) = 1 times (2 times 0 - 8 times 1) - (-1) times (2 times 0 - 8 times 2) + 0 times (2 times 1 - 2 times 2)
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente:
1 times (0 - 8) = 1 times (-8) = -8
-(-1) times (0 - 16) = 1 times (-16) = -16
0 times (2 - 4) = 0 times (-2) = 0
Passo 6
Somando os resultados:
-8 - 16 + 0 = -24
Resposta
Como o determinante , os vetores , e são linearmente independentes e, portanto, formam uma base em .