Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de .
(a) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se os vetores e formam uma base de . A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases e espaços vetoriais. Precisamos entender o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores satisfaz as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial como é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de , isso significa que precisamos de três vetores que não possam ser escritos como combinações lineares uns dos outros e que qualquer vetor em possa ser obtido a partir deles.

Passo 3

Vamos analisar os vetores que temos: e . Note que são apenas dois vetores. Mas como é tridimensional, precisamos de, no mínimo, três vetores para formar uma base que cubra todo o espaço. Com apenas dois vetores, a gente não consegue gerar todas as combinações possíveis em .

Passo 4

Além disso, mesmo que os vetores sejam linearmente independentes, o que significa que nenhum deles pode ser obtido a partir do outro, ainda falta um vetor para completar a base. Portanto, com dois vetores, não conseguimos formar uma base para .

Resposta

Não, os vetores e não formam uma base de porque são apenas dois vetores e precisamos de três vetores para formar uma base nesse espaço.

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© e ;
Um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V se diz positivo definido se, e só se, todos os seus valores próprios são maiores que zero. Supondo a dimensão de V finita, mostrar que: A é positivo definido se, e somente se, para todo vetor não nulo .
Seja definida por . Achar em base ortonormal do tal que (A) é diagonal.
Um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V se diz positivo definido se, e só se, todos os seus valores próprios são maiores que zero. Supondo a dimensão de V finita, mostrar que: Se A é positivo definido, então seu inverso (caso exista) também o é.