Verifique se os vetores dos itens abaixam formam uma base de R^3.
(a) (1,2,0) e (0,1,-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se os vetores (1,2,0) e (0,1,-2) formam uma base de R^3. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases e espaços vetoriais. Precisamos entender o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores satisfaz as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial como R^3 é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de R^3, isso significa que precisamos de três vetores que não possam ser escritos como combinações lineares uns dos outros e que qualquer vetor em R^3 possa ser obtido a partir deles.

Passo 3

Vamos analisar os vetores que temos: (1,2,0) e (0,1,-2). Note que são apenas dois vetores. Mas como R^3 é tridimensional, precisamos de, no mínimo, três vetores para formar uma base que cubra todo o espaço. Com apenas dois vetores, a gente não consegue gerar todas as combinações possíveis em R^3.

Passo 4

Além disso, mesmo que os vetores sejam linearmente independentes, o que significa que nenhum deles pode ser obtido a partir do outro, ainda falta um vetor para completar a base. Portanto, com dois vetores, não conseguimos formar uma base para R^3.

Resposta

Não, os vetores (1,2,0) e (0,1,-2) não formam uma base de R^3 porque são apenas dois vetores e precisamos de três vetores para formar uma base nesse espaço.

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