Sabendo que o ponto P(-3, m, n+2) pertence à reta que passa pelos pontos A(1,-2,4) e B(-1,-3,1), determine m e n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir os valores de e para o ponto que está na reta que passa pelos pontos e . Vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a equação paramétrica de uma reta e igualar com as coordenadas do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor diretor da reta que passa por AB = B - A = (-1 - 1, -3 - (-2), 1 - 4) = (-2, -1, -3) e . Isso é feito subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :
Esse vetor indica a direção da reta.

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta. A equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde x = 1 - 2t y = -2 - t z = 4 - 3t é um ponto da reta (vamos usar o ponto ) e são as componentes do vetor diretor . Assim, temos:

Passo 4

Sabemos que o ponto -3 = 1 - 2t está na reta, então suas coordenadas devem satisfazer as equações paramétricas da reta. Vamos igualar cada coordenada:
  1. Para -3 - 1 = -2t -4 = -2t t = 2 :
m = -2 - t m = -2 - 2 m = -4
Resolvendo para n + 2 = 4 - 3t n + 2 = 4 - 6 n + 2 = -2 n = -4 :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Os valores são e .

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