(Operador Integração) Seja
o espaço das funções reais contínuas. Mostre que a função
definida como
é linear.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa mostrar que a função
, que integra uma função contínua, é linear. Então, estamos lidando com conceitos de álgebra linear e cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser linear e como a operação de integração funciona nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas:
- Adição:
- Escalar:
Isso quer dizer que aplicar
na soma de duas funções é o mesmo que somar as aplicações de
em cada função individualmente, e que multiplicar uma função por um número escalar antes de aplicar
é o mesmo que multiplicar o resultado de
pela constante.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a aditividade. Pegamos duas funções contínuas
e
, e queremos ver se:
Calculando
:
Pela propriedade da integral, podemos separar:
Então, a primeira propriedade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade ou escalar. Vamos multiplicar a função
por um escalar
e ver se:
Calculando
:
Podemos fatorar o escalar
para fora da integral:
Portanto, a segunda propriedade também é satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de linearidade foram confirmadas, a função
definida por
é linear.
Exercícios relacionados
(1,5 pontos) Prove que o triângulo de vértices
e
é um triângulo retângulo em
.
Sejam
e
fixado. Mostre que cada uma das funções
abaixo é linear:
. (Valor médio)
Seja
tal que
. Seja
uma base de
e
uma base de
. Determine
Seja
tal que
. Determine