(Operador Integração) Seja V=C(R, R) o espaço das funções reais contínuas. Mostre que a função J: V V definida como
(J f)(x)=integral0^x f(t) d t
é linear.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa mostrar que a função , que integra uma função contínua, é linear. Então, estamos lidando com conceitos de álgebra linear e cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser linear e como a operação de integração funciona nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas:
  1. Adição:
  2. Escalar:
Isso quer dizer que aplicar na soma de duas funções é o mesmo que somar as aplicações de em cada função individualmente, e que multiplicar uma função por um número escalar antes de aplicar é o mesmo que multiplicar o resultado de pela constante.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a aditividade. Pegamos duas funções contínuas J(f + g)(x) = J(f)(x) + J(g)(x) e J(f + g)(x) = integral0^x (f(t) + g(t)) , dt , e queremos ver se:
integral0^x f(t) , dt + integral0^x g(t) , dt = J(f)(x) + J(g)(x)
Calculando :
Pela propriedade da integral, podemos separar:
Então, a primeira propriedade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade ou escalar. Vamos multiplicar a função J(a cdot f)(x) = a cdot J(f)(x) por um escalar J(a cdot f)(x) = integral0^x a cdot f(t) , dt e ver se:
a cdot integral0^x f(t) , dt = a cdot J(f)(x)
Calculando :
Podemos fatorar o escalar para fora da integral:
Portanto, a segunda propriedade também é satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de linearidade foram confirmadas, a função (J f)(x) = integral0^x f(t) , dt definida por
é linear.

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