(Operador Integração) Seja o espaço das funções reais contínuas. Mostre que a função definida como
é linear.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa mostrar que a função , que integra uma função contínua, é linear. Então, estamos lidando com conceitos de álgebra linear e cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser linear e como a operação de integração funciona nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas:
  1. Adição:
  2. Escalar:
Isso quer dizer que aplicar na soma de duas funções é o mesmo que somar as aplicações de em cada função individualmente, e que multiplicar uma função por um número escalar antes de aplicar é o mesmo que multiplicar o resultado de pela constante.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a aditividade. Pegamos duas funções contínuas e , e queremos ver se:
Calculando :
Pela propriedade da integral, podemos separar:
Então, a primeira propriedade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade ou escalar. Vamos multiplicar a função por um escalar e ver se:
Calculando :
Podemos fatorar o escalar para fora da integral:
Portanto, a segunda propriedade também é satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de linearidade foram confirmadas, a função definida por
é linear.

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