Seja
tal que
. Determine
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear! A questão pede para a gente encontrar o núcleo da transformação linear
definida por
. Isso significa que vamos identificar todos os vetores
que, ao serem transformados por
, resultam no vetor nulo
. Para isso, precisamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como determinar os valores que satisfazem a condição
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo (ou kernel) de uma transformação linear
é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor nulo. Ou seja:
No nosso caso, precisamos resolver a equação:
Passo 3
Agora, vamos igualar cada componente dos vetores:
Da segunda equação, encontramos que
. A terceira equação já está satisfeita, independentemente do valor de
. Portanto,
pode ser qualquer número real.
Passo 4
Juntando as soluções das equações, temos que:
Isso significa que todos os vetores no núcleo de
têm a forma
, onde
é qualquer número real.