Seja T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(x, 2 y, 0). Determine ker(T)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear! A questão pede para a gente encontrar o núcleo da transformação linear definida por . Isso significa que vamos identificar todos os vetores que, ao serem transformados por , resultam no vetor nulo . Para isso, precisamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear e como determinar os valores que satisfazem a condição .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo (ou kernel) de uma transformação linear ker(T) = , (x, y, z) in R^3 mid T(x, y, z) = 0 , é o conjunto de todos os vetores T(x, y, z) = (x, 2y, 0) = (0, 0, 0) em que são mapeados para o vetor nulo. Ou seja:
No nosso caso, precisamos resolver a equação:

Passo 3

Agora, vamos igualar cada componente dos vetores:
Da segunda equação, encontramos que . A terceira equação já está satisfeita, independentemente do valor de . Portanto, pode ser qualquer número real.

Passo 4

Juntando as soluções das equações, temos que:
x = 0, y = 0, z in R
Isso significa que todos os vetores no núcleo de têm a forma , onde é qualquer número real.

Resposta

ker(T) = , (0, 0, z) mid z in R ,

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