Sejam V=F(R, R) e h in R fixado. Mostre que cada uma das funções T: V V abaixo é linear: (T f)(x)=12(f(x+h2)-f(x-h2)). (Valor médio)

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que a função (T f)(x) = 12(f(x+h2) - f(x-h2)), , definida por
T(f + g) = T(f) + T(g)
é linear. Linearidade significa que T(c f) = c T(f) respeita a adição de funções e a multiplicação por escalar. Vamos precisar lembrar que uma transformação é linear se, para quaisquer funções e em e qualquer escalar , vale:
e
Vamos verificar esses dois pontos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se T(f + g) = T(f) + T(g) preserva a adição. Ou seja, queremos mostrar que:
T(f + g)(x) &= 12((f + g)(x+h2) - (f + g)(x-h2)) &= 12(f(x+h2) + g(x+h2) - f(x-h2) - g(x-h2)) &= 12(f(x+h2) - f(x-h2)) + 12(g(x+h2) - g(x-h2)) &= T(f)(x) + T(g)(x)
Vamos calcular :
Assim, mostramos que .

Passo 3

Agora, vamos verificar se T(c f) = c T(f) respeita a multiplicação por escalar. Queremos mostrar que:
T(c f)(x) &= 12((c f)(x+h2) - (c f)(x-h2)) &= 12(c f(x+h2) - c f(x-h2)) &= c cdot 12(f(x+h2) - f(x-h2)) &= c cdot T(f)(x)
Vamos calcular :
Portanto, .

Resposta

Como preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, concluímos que é uma transformação linear.

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