Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funções abaixo é linear: . (Valor médio)
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que a função , definida por
é linear. Linearidade significa que respeita a adição de funções e a multiplicação por escalar. Vamos precisar lembrar que uma transformação é linear se, para quaisquer funções e em e qualquer escalar , vale:
e
Vamos verificar esses dois pontos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se preserva a adição. Ou seja, queremos mostrar que:
Vamos calcular :
Assim, mostramos que .
Passo 3
Agora, vamos verificar se respeita a multiplicação por escalar. Queremos mostrar que:
Vamos calcular :
Portanto, .
Resposta
Como preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, concluímos que é uma transformação linear.