Sejam
e
fixado. Mostre que cada uma das funções
abaixo é linear:
. (Valor médio)
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que a função
, definida por
é linear. Linearidade significa que
respeita a adição de funções e a multiplicação por escalar. Vamos precisar lembrar que uma transformação
é linear se, para quaisquer funções
e
em
e qualquer escalar
, vale:
e
Vamos verificar esses dois pontos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
preserva a adição. Ou seja, queremos mostrar que:
Vamos calcular
:
Assim, mostramos que
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
respeita a multiplicação por escalar. Queremos mostrar que:
Vamos calcular
:
Portanto,
.
Resposta
Como
preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, concluímos que
é uma transformação linear.