Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funções abaixo é linear: . (Valor médio)

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que a função , definida por
é linear. Linearidade significa que respeita a adição de funções e a multiplicação por escalar. Vamos precisar lembrar que uma transformação é linear se, para quaisquer funções e em e qualquer escalar , vale:
e
Vamos verificar esses dois pontos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se preserva a adição. Ou seja, queremos mostrar que:
Vamos calcular :
Assim, mostramos que .

Passo 3

Agora, vamos verificar se respeita a multiplicação por escalar. Queremos mostrar que:
Vamos calcular :
Portanto, .

Resposta

Como preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, concluímos que é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funções abaixo é linear: . (Diferença para trás)
As coordenadas dos pontos devem satisfazer a equação desta parábola, isto é:
ou:
sistema cuja solução é e .
Logo, a equação da parábola é:
(1,5 pontos) Prove que o triângulo de vértices e é um triângulo retângulo em .
(Operador Integração) Seja o espaço das funções reais contínuas. Mostre que a função definida como
é linear.