(1,5 pontos) Prove que o triângulo de vértices e é um triângulo retângulo em .

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um triângulo com os vértices nas coordenadas , e . Nosso objetivo é provar que esse triângulo é retângulo no vértice . Para isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço tridimensional e o produto escalar para verificar se os dois lados que se encontram em são perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que partem de até e até . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar desses dois vetores. O produto escalar de e é dado por:

Passo 4

O resultado do produto escalar foi zero ( ). Isso significa que os vetores e são perpendiculares entre si.

Resposta

Portanto, o triângulo com vértices , e é um triângulo retângulo no vértice .

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