(1,5 pontos) Prove que o triângulo de vértices A(2,3,1), B(2,1,-1) e C(2,2,-2) é um triângulo retângulo em B.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um triângulo com os vértices nas coordenadas , e . Nosso objetivo é provar que esse triângulo é retângulo no vértice . Para isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço tridimensional e o produto escalar para verificar se os dois lados que se encontram em são perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que partem de BA = A - B = (2-2, 3-1, 1-(-1)) = (0, 2, 2) até BC = C - B = (2-2, 2-1, -2-(-1)) = (0, 1, -1) e até . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar desses dois vetores. O produto escalar de BA cdot BC = (0)(0) + (2)(1) + (2)(-1) = 0 + 2 - 2 = 0 e é dado por:

Passo 4

O resultado do produto escalar foi zero ( ). Isso significa que os vetores e são perpendiculares entre si.

Resposta

Portanto, o triângulo com vértices , e é um triângulo retângulo no vértice .

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