Um operador linear no
é definida pela matriz
. Determine u e
, tal que :
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um operador linear no espaço
representado pela matriz:
O objetivo é encontrar os vetores u e v tais que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de valores próprios (ou autovalores) e vetores próprios (ou autovetores) de uma matriz. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um vetor próprio de uma matriz
é um vetor não nulo
que, quando a matriz
é aplicada a ele, o resultado é simplesmente um múltiplo escalar desse vetor. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui,
é o valor próprio correspondente ao vetor próprio
.
No nosso caso, queremos que
e
. Isso significa que estamos procurando vetores próprios associados ao valor próprio
.
Passo 3
Vamos encontrar os valores próprios da matriz
. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa o determinante. Calculando:
O determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Então, os valores próprios são:
Passo 4
Como estamos interessados em encontrar vetores u e v tais que
e
, vamos nos concentrar no valor próprio
.
Agora, vamos encontrar o vetor próprio correspondente a
. Substituímos
na equação
:
[
1 \cdot
]
]
Isso nos dá o sistema de equações:
Simplificando a primeira equação:
A segunda equação nos diz que
, o que é sempre verdadeiro.
Passo 5
Então, os vetores próprios correspondentes a
são aqueles onde
. Podemos representar esses vetores como:
Aqui,
é qualquer número real diferente de zero. Assim, todos os vetores da forma
, onde
, são vetores próprios associados a
.
Resposta
Um vetor próprio
que satisfaz
é qualquer múltiplo de
. Portanto, podemos escolher:
Exercícios relacionados
Seja a matriz
, determine : a imagem de
,
usando a matriz A.
usando a matriz A.
Seja a matriz
, determine : a lei da TL definida por
.
Seja
, o espaço vetorial de todas as matrizes
onde cada elemento
R. Mostre que
não é subespaço de
se:
(i) W consiste de todas as matrizes com determinante zero;
(ii) consiste de todas as matrizes P para as quais
(i) W consiste de todas as matrizes com determinante zero;
(ii)
Encontre o espaço gerado pelo conjunto
.
.