Um operador linear no R^2 é definida pela matriz [f]=[rr-1 & 2 0 & 1]. Determine u e v, tal que : f(u)=u

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um operador linear no espaço R^2 representado pela matriz:
[f] = -1 & 2 0 & 1
O objetivo é encontrar os vetores u e v tais que:
f(u) = u e f(v) = v
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de valores próprios (ou autovalores) e vetores próprios (ou autovetores) de uma matriz. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor próprio de uma matriz A é um vetor não nulo x que, quando a matriz A é aplicada a ele, o resultado é simplesmente um múltiplo escalar desse vetor. Matematicamente, isso é representado por:
Ax = lambda x
Aqui, lambda é o valor próprio correspondente ao vetor próprio x.
No nosso caso, queremos que f(u) = u e f(v) = v. Isso significa que estamos procurando vetores próprios associados ao valor próprio lambda = 1.

Passo 3

Vamos encontrar os valores próprios da matriz [f]. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det([f] - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e det representa o determinante. Calculando:
[f] - lambda I = -1 - lambda & 2 0 & 1 - lambda
O determinante dessa matriz é:
(-1 - lambda)(1 - lambda) - (0 cdot 2) = (-1 - lambda)(1 - lambda)
Igualando a zero:
(-1 - lambda)(1 - lambda) = 0
Então, os valores próprios são:
lambda1 = -1 e lambda2 = 1

Passo 4

Como estamos interessados em encontrar vetores u e v tais que f(u) = u e f(v) = v, vamos nos concentrar no valor próprio lambda = 1.
Agora, vamos encontrar o vetor próprio correspondente a lambda = 1. Substituímos lambda = 1 na equação [f]x = lambda x:

[
-1 & 2 0 & 1 x y = 1 cdot x y
-1x + 2y = 1x 0x + 1y = 1y

1 \cdot
-1x + 2y = x implies -2x + 2y = 0 implies -x + y = 0 implies y = x
]
Isso nos dá o sistema de equações:
y = y
Simplificando a primeira equação:
A segunda equação nos diz que , o que é sempre verdadeiro.

Passo 5

Então, os vetores próprios correspondentes a lambda = 1 são aqueles onde y = x. Podemos representar esses vetores como:
v = x x = x 1 1
Aqui, x é qualquer número real diferente de zero. Assim, todos os vetores da forma k1 1, onde k in R setminus 0, são vetores próprios associados a lambda = 1.

Resposta

Um vetor próprio v que satisfaz f(v) = v é qualquer múltiplo de 1 1. Portanto, podemos escolher:
v = 1 1

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