Usando a forma polar dos números complexo correspondente, ache:
iii)
iii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o cálculo de
usando a forma polar dos números complexos. Isso está dentro da matéria de Números Complexos, especificamente usando a forma polar e a fórmula de De Moivre. Para isso, vamos precisar converter o número complexo para a forma polar e então aplicar a fórmula para elevar a potência.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o número complexo
para a forma polar. A forma polar é expressa como
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
Calculando o módulo
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
. Sabemos que:
Como o número está no segundo quadrante (Re negativo e Im positivo), ajustamos o ângulo:
Passo 5
Então, a forma polar de
é:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a fórmula de De Moivre, que diz que:
Aqui,
.
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Calculando
:
Podemos simplificar
observando que
equivale a
, ou seja, completamos 6 voltas completas (
) e sobra
.
Então:
Passo 9
Calculando os valores trigonométricos:
Passo 10
Agora, substituindo tudo na fórmula de De Moivre:
Resposta
Exercícios relacionados
Escreva os seguintes números complexos na forma polar:
v) -2
v) -2
Escreva os seguintes números complexos na forma polar:
ii)
ii)
Prove as seguintes igualdades:
iii)
iii)
Um operador real
é dito
Prove que o operador
definido por
onde
e
, é linear.