Usando a forma polar dos números complexo correspondente, ache:
iii) (-1 + i raiz(3))^20

Passo 1

Beleza, vamos resolver o cálculo de usando a forma polar dos números complexos. Isso está dentro da matéria de Números Complexos, especificamente usando a forma polar e a fórmula de De Moivre. Para isso, vamos precisar converter o número complexo para a forma polar e então aplicar a fórmula para elevar a potência.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o número complexo para a forma polar. A forma polar é expressa como , onde r é o módulo e theta é o argumento.

Passo 3

Calculando o módulo r:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento theta. Sabemos que:
Como o número está no segundo quadrante (Re negativo e Im positivo), ajustamos o ângulo:

Passo 5

Então, a forma polar de é:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a fórmula de De Moivre, que diz que:
Aqui, .

Passo 7

Calculando :

Passo 8

Calculando :
Podemos simplificar observando que equivale a , ou seja, completamos 6 voltas completas ( ) e sobra .
Então:

Passo 9

Calculando os valores trigonométricos:

Passo 10

Agora, substituindo tudo na fórmula de De Moivre:

Resposta

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