[Oppenheim et al., 1996, ex. 2.3] Considere uma entrada x[n] e uma resposta ao impulso unitário h[n] dadas por:
x[n]=(1/2)^(n-2) u[n-2] h[n]=u[n+2]
Determine e esboce a saída y[n] = x[n] * h[n].

Passo 1

Vamos resolver um exercício de convolução no domínio discreto. Temos duas sequências: a entrada e a resposta ao impulso . Nosso objetivo é encontrar a saída . Para isso, precisamos entender a teoria da convolução e como aplicar a soma de convolução para sequências discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a convolução. A convolução de duas sequências e é uma operação que combina essas sequências para produzir uma terceira sequência . Matematicamente, é dada por:
Isso essencialmente “desliza” uma sequência sobre a outra, multiplicando e somando os valores onde elas se sobrepõem.

Passo 3

Vamos identificar os limites de para os quais e são não nulos. A função degrau unitário é 1 para e 0 caso contrário. Assim:
Isso significa que a convolução também terá limites baseados nessas condições.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula da convolução:
Considerando os limites de e , o intervalo de soma se reduz. Sabemos que é diferente de zero para e é diferente de zero para , ou seja, . Portanto, a soma vai de até .

Passo 5

Substituindo e na soma:
Observe que dentro dos limites de soma.

Passo 6

Simplificamos a soma exponencial:
Essa é uma soma geométrica com razão .

Passo 7

A soma de uma série geométrica finita é dada por:
Aplicando para nossa soma:

Passo 8

Portanto, a saída é:
Para , , já que para .

Resposta

A saída da convolução é:
O gráfico de começa em zero para e, a partir de , cresce assintoticamente para 2 à medida que aumenta.

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