[Oppenheim et al., 1996, ex. 2.3] Considere uma entrada
e uma resposta ao impulso unitário
dadas por:
Determine e esboce a saída
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de convolução no domínio discreto. Temos duas sequências: a entrada
e a resposta ao impulso
. Nosso objetivo é encontrar a saída
. Para isso, precisamos entender a teoria da convolução e como aplicar a soma de convolução para sequências discretas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a convolução. A convolução de duas sequências
e
é uma operação que combina essas sequências para produzir uma terceira sequência
. Matematicamente, é dada por:
Isso essencialmente “desliza” uma sequência sobre a outra, multiplicando e somando os valores onde elas se sobrepõem.
Passo 3
Vamos identificar os limites de
para os quais
e
são não nulos. A função degrau unitário
é 1 para
e 0 caso contrário. Assim:
Isso significa que a convolução
também terá limites baseados nessas condições.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula da convolução:
Considerando os limites de
e
, o intervalo de soma se reduz. Sabemos que
é diferente de zero para
e
é diferente de zero para
, ou seja,
. Portanto, a soma vai de
até
.
Passo 5
Substituindo
e
na soma:
Observe que
dentro dos limites de soma.
Passo 6
Simplificamos a soma exponencial:
Essa é uma soma geométrica com razão
.
Passo 7
A soma de uma série geométrica finita é dada por:
Aplicando para nossa soma:
Passo 8
Portanto, a saída
é:
Para
,
, já que
para
.
Resposta
A saída da convolução é:
O gráfico de
começa em zero para
e, a partir de
, cresce assintoticamente para 2 à medida que
aumenta.