[Oppenheim et al., 1996, ex. 2.3] Considere uma entrada e uma resposta ao impulso unitário dadas por:
Determine e esboce a saída .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de convolução no domínio discreto. Temos duas sequências: a entrada e a resposta ao impulso . Nosso objetivo é encontrar a saída . Para isso, precisamos entender a teoria da convolução e como aplicar a soma de convolução para sequências discretas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a convolução. A convolução de duas sequências e é uma operação que combina essas sequências para produzir uma terceira sequência . Matematicamente, é dada por:
Isso essencialmente “desliza” uma sequência sobre a outra, multiplicando e somando os valores onde elas se sobrepõem.
Passo 3
Vamos identificar os limites de para os quais e são não nulos. A função degrau unitário é 1 para e 0 caso contrário. Assim:
Isso significa que a convolução também terá limites baseados nessas condições.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula da convolução:
Considerando os limites de e , o intervalo de soma se reduz. Sabemos que é diferente de zero para e é diferente de zero para , ou seja, . Portanto, a soma vai de até .
Passo 5
Substituindo e na soma:
Observe que dentro dos limites de soma.
Passo 6
Simplificamos a soma exponencial:
Essa é uma soma geométrica com razão .
Passo 7
A soma de uma série geométrica finita é dada por:
Aplicando para nossa soma:
Passo 8
Portanto, a saída é:
Para , , já que para .
Resposta
A saída da convolução é:
O gráfico de começa em zero para e, a partir de , cresce assintoticamente para 2 à medida que aumenta.