Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de
a partir da base
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos o processo de Gram-Schmidt para transformar uma base qualquer de
em uma base ortogonal. A base inicial que temos é composta pelos vetores:
Para isso, vamos precisar conhecer o processo de Gram-Schmidt, que serve exatamente para ortogonalizar um conjunto de vetores, ou seja, fazer com que todos sejam perpendiculares entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor da base,
. Como é o primeiro vetor, ele já está “pronto” para ser parte da nossa base ortogonal. Então, vamos definir:
Esse será o primeiro vetor da nossa base ortogonal.
Passo 3
Agora, vamos para o segundo vetor,
. Para torná-lo ortogonal ao primeiro vetor
, usamos a seguinte fórmula:
Onde
é a projeção de
sobre
, calculada por:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, calculamos o produto interno (ponto) entre
e
:
E o produto interno de
consigo mesmo:
Então:
Portanto:
Isso significa que
já é ortogonal a
!
Passo 5
Agora, vamos para o terceiro vetor, . Precisamos torná-lo ortogonal a ambos
e
. Usamos a fórmula:
Calcularemos cada projeção separadamente.
Passo 6
Primeiro, a projeção de
sobre
:
Passo 7
Em seguida, a projeção de
sobre
:
Passo 8
Agora, vamos subtrair essas projeções de
:
Substituindo os valores:
Fazendo as subtrações:
Convertendo para frações comuns:
Resposta
A base ortogonal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é: