Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de R^3 a partir da base
u1=(2,-1,1), u2=(0,1,1), u3=(1,2,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos o processo de Gram-Schmidt para transformar uma base qualquer de R^3 em uma base ortogonal. A base inicial que temos é composta pelos vetores:
u1=(2,-1,1), u2=(0,1,1), u3=(1,2,1)
Para isso, vamos precisar conhecer o processo de Gram-Schmidt, que serve exatamente para ortogonalizar um conjunto de vetores, ou seja, fazer com que todos sejam perpendiculares entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor da base, u1. Como é o primeiro vetor, ele já está “pronto” para ser parte da nossa base ortogonal. Então, vamos definir:
v1 = u1 = (2, -1, 1)
Esse será o primeiro vetor da nossa base ortogonal.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo vetor, u2 = (0,1,1). Para torná-lo ortogonal ao primeiro vetor v1, usamos a seguinte fórmula:
v2 = u2 - projv1 u2
Onde projv1 u2 é a projeção de u2 sobre v1, calculada por:
projv1 u2 = u2 cdot v1v1 cdot v1 v1
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calculamos o produto interno (ponto) entre u2 e v1:
u2 cdot v1 = (0)(2) + (1)(-1) + (1)(1) = 0 -1 +1 = 0
E o produto interno de v1 consigo mesmo:
v1 cdot v1 = (2)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 4 +1 +1 = 6
Então:
projv1 u2 = 06 v1 = 0
Portanto:
v2 = u2 - 0 = (0,1,1)
Isso significa que u2 já é ortogonal a v1!

Passo 5

Agora, vamos para o terceiro vetor, . Precisamos torná-lo ortogonal a ambos u3 = (1,2,1 e v1. Usamos a fórmula:
v2
Calcularemos cada projeção separadamente.

Passo 6

Primeiro, a projeção de u3 sobre v1:
u3 cdot v1 = (1)(2) + (2)(-1) + (1)(1) = 2 -2 +1 = 1
projv1 u3 = 16 v1 = 16(2, -1, 1) = (26, -16, 16) = (13, -16, 16)

Passo 7

Em seguida, a projeção de u3 sobre v2:
u3 cdot v2 = (1)(0) + (2)(1) + (1)(1) = 0 +2 +1 = 3
v2 cdot v2 = (0)^2 + (1)^2 + (1)^2 = 0 +1 +1 = 2
projv2 u3 = 32 v2 = 32(0,1,1) = (0, 32, 32)

Passo 8

Agora, vamos subtrair essas projeções de u3:
v3 = u3 - projv1 u3 - projv2 u3
Substituindo os valores:
v3 = (1,2,1) - (13, -16, 16) - (0, 32, 32)
Fazendo as subtrações:
v3 = (1 - 13 - 0, ; 2 - (-16) - 32, ; 1 - 16 - 32)
v3 = (23, ; 2 + 16 - 32, ; 1 - 16 - 32)
Convertendo para frações comuns:
v3 = (23, ; 126 + 16 - 96, ; 66 - 16 - 96)
v3 = (23, ; 46, ; -46) = (23, ; 23, ; -23)

Resposta

A base ortogonal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:
, v1 = (2, -1, 1),; v2 = (0, 1, 1),; v3 = (23, 23, -23) ,

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