Em um oscilador amortecido com
e b
, qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um oscilador amortecido com massa
, constante elástica
e coeficiente de amortecimento
. A pergunta é: qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos?
Vamos usar conceitos de movimento harmônico amortecido para resolver isso. Precisaremos calcular como a amplitude decai ao longo do tempo devido ao amortecimento.
Passo 2
Primeiro, é importante garantir que todas as unidades estejam consistentes. O coeficiente de amortecimento
está em gramas por segundo, mas nossa massa
está em quilogramas. Vamos converter
para
:
Passo 3
Agora, calculamos a taxa de amortecimento (
), que é dada por:
Substituindo os valores:
Essa taxa nos indica quão rápido a amplitude está diminuindo.
Passo 4
Vamos encontrar a frequência natural não amortecida (
), que é a frequência do oscilador sem considerar o amortecimento. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Com o amortecimento, a frequência amortecida (
) muda um pouquinho. Ela é calculada por:
Como
é muito pequeno comparado com
, podemos aproximar
:
Passo 6
Vamos encontrar o período (
) das oscilações amortecidas, que é dado por:
Substituindo:
Isso significa que cada ciclo dura aproximadamente 10,78 segundos.
Passo 7
A amplitude de um oscilador amortecido diminui exponencialmente com o tempo. A relação entre a amplitude após
ciclos (
) e a amplitude inicial (
) é:
Queremos a razão após 20 ciclos:
Calculando o expoente:
Então:
Resposta
A razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos é aproximadamente 0,970.