Em um oscilador amortecido com m=250 kg, k=85 N / m e b = 70 g / s, qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um oscilador amortecido com massa , constante elástica e coeficiente de amortecimento . A pergunta é: qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos?
Vamos usar conceitos de movimento harmônico amortecido para resolver isso. Precisaremos calcular como a amplitude decai ao longo do tempo devido ao amortecimento.

Passo 2

Primeiro, é importante garantir que todas as unidades estejam consistentes. O coeficiente de amortecimento b = 70 , g/s = 0,07 , kg/s está em gramas por segundo, mas nossa massa está em quilogramas. Vamos converter para :

Passo 3

Agora, calculamos a taxa de amortecimento ( gamma = b2m ), que é dada por:
gamma = 0,072 times 250 = 0,07500 = 0,00014 , s^-1
Substituindo os valores:
Essa taxa nos indica quão rápido a amplitude está diminuindo.

Passo 4

Vamos encontrar a frequência natural não amortecida ( omega0 = raizkm ), que é a frequência do oscilador sem considerar o amortecimento. A fórmula é:
omega0 = raiz85250 = raiz0,34 approx 0,583 , rad/s
Substituindo os valores:

Passo 5

Com o amortecimento, a frequência amortecida ( omegad = raizomega0^2 - gamma^2 ) muda um pouquinho. Ela é calculada por:
omegad approx 0,583 , rad/s
Como é muito pequeno comparado com , podemos aproximar :

Passo 6

Vamos encontrar o período ( T = 2piomegad ) das oscilações amortecidas, que é dado por:
T = 2pi0,583 approx 10,78 , s
Substituindo:
Isso significa que cada ciclo dura aproximadamente 10,78 segundos.

Passo 7

A amplitude de um oscilador amortecido diminui exponencialmente com o tempo. A relação entre a amplitude após A(N)A0 = e^-gamma cdot N cdot T ciclos ( A(20)A0 = e^-0,00014 times 20 times 10,78 ) e a amplitude inicial ( -0,00014 times 20 times 10,78 approx -0,0303 ) é:
A(20)A0 = e^-0,0303 approx 0,970
Queremos a razão após 20 ciclos:
Calculando o expoente:
Então:

Resposta

A razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos é aproximadamente 0,970.

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