Um oscilador harmônico amortecido com fator de amortecimento
sofre a ação de uma força harmônica de amplitude
. Quando a freqüência com que à força atua é
a amplitude de vibração é
e quando a freqüência é
a amplitude torna-se
. Determinar a massa e a rigidez do oscilador.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre oscilações harmônicas amortecidas. Isso significa que estamos lidando com um sistema que oscila, tipo uma mola ou um pêndulo, mas que perde energia com o tempo por causa de um atrito ou resistência. No nosso caso, esse sistema está sendo forçado por uma força harmônica, que é uma força que varia com o tempo de maneira sinusoidal.
Para resolver esse problema, a gente vai precisar usar algumas fórmulas da física que relacionam a amplitude das vibrações, a massa do oscilador, a rigidez (ou constante elástica) da mola, e o fator de amortecimento. Vamos destrinchar isso passo a passo para encontrar a massa e a rigidez do oscilador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que relaciona a amplitude das vibrações (
) com a força aplicada (
), a massa (
), a rigidez (
), a frequência da força (
), e o fator de amortecimento (
).
A amplitude
é dada por:
Onde:
-
é a amplitude da força aplicada. -
é a rigidez da mola. -
é a massa do oscilador. -
é a frequência angular da força. -
é o coeficiente de amortecimento.
Mas como a gente tem o fator de amortecimento
, podemos reescrever
em termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos usar os dois casos fornecidos no problema para montar um sistema de equações. Temos duas situações com frequência
diferente e amplitude
correspondente.
Primeiro caso:
Segunda caso:
Vamos substituir
na fórmula da amplitude:
Como
, onde
é a frequência natural do sistema, mas vamos manter
como está para facilitar a resolução.
Passo 4
Vamos montar as duas equações com os dados fornecidos:
Para
rad/s e
m:
Para
rad/s e
m:
Essas duas equações vão nos ajudar a encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Vamos simplificar as equações para facilitar a resolução. Primeiro, vamos inverter ambas as equações para eliminar o denominador:
Primeira equação:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Segunda equação:
Elevando ao quadrado:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos chamar a primeira equação de
e a segunda de
.
Para resolver esse sistema, podemos tentar expressar
em termos de
a partir de uma das equações e substituir na outra. Porém, essas equações são quadráticas e podem ser complicadas para resolver manualmente. Uma abordagem mais prática seria isolar
ou
e resolver numericamente, mas vamos tentar simplificar.
Vamos observar que:
Expandindo o primeiro termo:
Fazendo o mesmo para a segunda equação:
Passo 7
Agora, podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar
:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Calculando:
Agora, podemos isolar
:
Simplificando:
Isso ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem. Vamos assumir uma relação entre
e
baseada nas frequências e resolver numericamente.
Passo 8
Sabemos que a frequência natural
está relacionada com a rigidez e a massa por:
Podemos tentar expressar
com base nos dados fornecidos. No entanto, com o fator de amortecimento e as frequências de força, fica mais complexo obter uma expressão direta. Por isso, uma abordagem numérica ou o uso de software de cálculo seria mais eficiente aqui.
Entretanto, para fins de exercício, vamos supor que a contribuição dos termos quadráticos seja pequena e tentar uma solução aproximada.
Primeiro, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar algumas variáveis.
Simplificando:
Isso ainda é complicado para resolver manualmente, então vamos considerar métodos alternativos ou suposições para avançar.
Passo 9
Vamos tentar expressar
em termos de
a partir da primeira equação e substituir na segunda.
Da primeira equação:
Isolando
:
Tomando a raiz quadrada:
Então:
Agora, substituímos essa expressão na segunda equação:
Simplificando:
Ainda assim, resolver isso manualmente é bastante complexo. Vamos então tentar uma estimativa.
Passo 10
Vamos supor valores para
e verificar se satisfazem as duas equações. Sabemos que a massa não pode ser negativa, então vamos tentar valores positivos razoáveis.
Vamos tentar
:
Substituindo na primeira equação:
Agora, vamos verificar na segunda equação:
Isso não bate, pois
. Portanto,
está errado.
Vamos tentar
:
Primeira equação:
Agora, na segunda equação:
Ainda não bate. Vemos que precisamos de uma abordagem mais eficiente ou talvez um erro na simplificação anterior. Dado o nível de complexidade, é melhor usar métodos numéricos ou ferramentas de cálculo para resolver esse sistema de equações.
Resposta
Dado o alto grau de complexidade das equações obtidas, a resolução adequada requer o uso de métodos numéricos ou ferramentas computacionais para encontrar os valores precisos da massa
e da rigidez
do oscilador. Recomenda-se utilizar software como MATLAB, Python ou calculadoras gráficas avançadas para resolver esse sistema de equações não lineares.
Exercícios relacionados
Um oscilador harmônico possui massa
, coeficiente de amortecimento
e rigidez
. Determinar a magnitude da força harmônica atuante com uma freqüência
que resulta em uma amplitude de vibração de 0,5 mm .
Um oscilador harmônico não amortecido sofre a atuação de uma força de magnitude
. Quando a freqüência com que à força é aplicada é
, a amplitude de vibração é
e quando a freqüência muda para
a amplitude se torna
. Determinar a massa e a rigidez do sistema.
Um oscilador harmônico possui massa
, constante de amortecimento
, e
. Determinar a amplitude da resposta a uma força harmônica de magnitude
e freqüência: (a)
; (b)
; ©
.
Em um recipiente contendo
de água mergulha-se, durante
, um resistor com resistência elétrica de
. Se o resistor é percorrido por uma corrente
, calcule a elevação de temperatura da água.