Um oscilador harmônico amortecido com fator de amortecimento gamma=b / 2 m=0,2 sofre a ação de uma força harmônica de amplitude F0=30 N. Quando a freqüência com que à força atua é omega=350 rad / s a amplitude de vibração é 0,2 mm e quando a freqüência é omega=500 rad / s a amplitude torna-se 0,12 mm. Determinar a massa e a rigidez do oscilador.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre oscilações harmônicas amortecidas. Isso significa que estamos lidando com um sistema que oscila, tipo uma mola ou um pêndulo, mas que perde energia com o tempo por causa de um atrito ou resistência. No nosso caso, esse sistema está sendo forçado por uma força harmônica, que é uma força que varia com o tempo de maneira sinusoidal.
Para resolver esse problema, a gente vai precisar usar algumas fórmulas da física que relacionam a amplitude das vibrações, a massa do oscilador, a rigidez (ou constante elástica) da mola, e o fator de amortecimento. Vamos destrinchar isso passo a passo para encontrar a massa e a rigidez do oscilador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que relaciona a amplitude das vibrações ( A = F0raiz(k - momega^2)^2 + (bomega)^2 ) com a força aplicada ( b = 2mgamma ), a massa ( ), a rigidez ( ), a frequência da força ( ), e o fator de amortecimento ( ).
A amplitude é dada por:
Onde:
  • é a amplitude da força aplicada.
  • é a rigidez da mola.
  • é a massa do oscilador.
  • é a frequência angular da força.
  • é o coeficiente de amortecimento.
Mas como a gente tem o fator de amortecimento , podemos reescrever em termos de e :

Passo 3

Agora, vamos usar os dois casos fornecidos no problema para montar um sistema de equações. Temos duas situações com frequência omega1 = 350 , rad/s, A1 = 0,2 , mm = 0,2 times 10^-3 , m diferente e amplitude omega2 = 500 , rad/s, A2 = 0,12 , mm = 0,12 times 10^-3 , m correspondente.
Primeiro caso:
A = F0raiz(k - momega^2)^2 + (2mgammaomega)^2
Segunda caso:
Vamos substituir na fórmula da amplitude:
Como , onde é a frequência natural do sistema, mas vamos manter como está para facilitar a resolução.

Passo 4

Vamos montar as duas equações com os dados fornecidos:
Para 0,2 times 10^-3 = 30raiz(k - m(350)^2)^2 + (2m times 0,2 times 350)^2 rad/s e 0,12 times 10^-3 = 30raiz(k - m(500)^2)^2 + (2m times 0,2 times 500)^2 m:
Para rad/s e m:
Essas duas equações vão nos ajudar a encontrar os valores de e .

Passo 5

Vamos simplificar as equações para facilitar a resolução. Primeiro, vamos inverter ambas as equações para eliminar o denominador:
Primeira equação:
10,2 times 10^-3 = raiz(k - m(350)^2)^2 + (2m times 0,2 times 350)^230
300,2 times 10^-3 = raiz(k - m(350)^2)^2 + (2m times 0,2 times 350)^2
150000 = raiz(k - 122500m)^2 + (140m)^2
Elevando ao quadrado ambos os lados:
(150000)^2 = (k - 122500m)^2 + (140m)^2
2,25 times 10^10 = (k - 122500m)^2 + 19600m^2
Segunda equação:
10,12 times 10^-3 = raiz(k - m(500)^2)^2 + (2m times 0,2 times 500)^230
300,12 times 10^-3 = raiz(k - m(500)^2)^2 + (2m times 0,2 times 500)^2
250000 = raiz(k - 250000m)^2 + (200m)^2
Elevando ao quadrado:
(250000)^2 = (k - 250000m)^2 + (200m)^2
6,25 times 10^10 = (k - 250000m)^2 + 40000m^2

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. (k - 122500m)^2 + 19600m^2 = 2,25 times 10^10
  2. k^2 - 2 times 122500m times k + (122500m)^2 + 19600m^2 = 2,25 times 10^10
Vamos chamar a primeira equação de k^2 - 2 times 250000m times k + (250000m)^2 + 40000m^2 = 6,25 times 10^10 e a segunda de .
Para resolver esse sistema, podemos tentar expressar em termos de a partir de uma das equações e substituir na outra. Porém, essas equações são quadráticas e podem ser complicadas para resolver manualmente. Uma abordagem mais prática seria isolar ou e resolver numericamente, mas vamos tentar simplificar.
Vamos observar que:
Expandindo o primeiro termo:
Fazendo o mesmo para a segunda equação:

Passo 7

Agora, podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar [k^2 - 500000mk + 6,25 times 10^10m^2 + 40000m^2] - [k^2 - 245000mk + 1,500625 times 10^10m^2 + 19600m^2] = 6,25 times 10^10 - 2,25 times 10^10 :
-500000mk + 6,25 times 10^10m^2 + 40000m^2 + 245000mk - 1,500625 times 10^10m^2 - 19600m^2 = 4 times 10^10
Simplificando:
-255000mk + (6,25 times 10^10 - 1,500625 times 10^10)m^2 + (40000 - 19600)m^2 = 4 times 10^10
Agrupando os termos:
-255000mk + 4,749375 times 10^10m^2 + 20400m^2 = 4 times 10^10
Calculando:
-255000mk = 4 times 10^10 - 4,749375 times 10^10m^2 - 20400m^2
Agora, podemos isolar k = 4,749375 times 10^10m^2 + 20400m^2 - 4 times 10^10255000m :
k = (4,749375 times 10^10 + 20400)m^2 - 4 times 10^10255000m
Simplificando:
Isso ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem. Vamos assumir uma relação entre e baseada nas frequências e resolver numericamente.

Passo 8

Sabemos que a frequência natural omega0 = raizkm está relacionada com a rigidez e a massa por:
6,25 times 10^102,25 times 10^10 = (k - 250000m)^2 + 40000m^2(k - 122500m)^2 + 19600m^2
Podemos tentar expressar 2,777 = (k - 250000m)^2 + 40000m^2(k - 122500m)^2 + 19600m^2 com base nos dados fornecidos. No entanto, com o fator de amortecimento e as frequências de força, fica mais complexo obter uma expressão direta. Por isso, uma abordagem numérica ou o uso de software de cálculo seria mais eficiente aqui.
Entretanto, para fins de exercício, vamos supor que a contribuição dos termos quadráticos seja pequena e tentar uma solução aproximada.
Primeiro, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar algumas variáveis.
Simplificando:
Isso ainda é complicado para resolver manualmente, então vamos considerar métodos alternativos ou suposições para avançar.

Passo 9

Vamos tentar expressar 2,25 times 10^10 = (k - 122500m)^2 + 19600m^2 em termos de (k - 122500m)^2 = 2,25 times 10^10 - 19600m^2 a partir da primeira equação e substituir na segunda.
Da primeira equação:
k - 122500m = raiz2,25 times 10^10 - 19600m^2
Isolando k = 122500m + raiz2,25 times 10^10 - 19600m^2 :
6,25 times 10^10 = (122500m + raiz2,25 times 10^10 - 19600m^2 - 250000m)^2 + 40000m^2
Tomando a raiz quadrada:
6,25 times 10^10 = (-127500m + raiz2,25 times 10^10 - 19600m^2)^2 + 40000m^2
Então:
Agora, substituímos essa expressão na segunda equação:
Simplificando:
Ainda assim, resolver isso manualmente é bastante complexo. Vamos então tentar uma estimativa.

Passo 10

Vamos supor valores para 2,25 times 10^10 = (k - 122500 times 1)^2 + 19600 times 1^2 e verificar se satisfazem as duas equações. Sabemos que a massa não pode ser negativa, então vamos tentar valores positivos razoáveis.
Vamos tentar 2,25 times 10^10 = (k - 122500)^2 + 19600 :
Substituindo na primeira equação:
(k - 122500)^2 = 2,25 times 10^10 - 19600 approx 2,25 times 10^10
k - 122500 approx raiz2,25 times 10^10 approx 150000
k approx 150000 + 122500 = 272500 , N/m
6,25 times 10^10 = (272500 - 250000 times 1)^2 + 40000 times 1^2
6,25 times 10^10 = (22500)^2 + 40000
Agora, vamos verificar na segunda equação:
6,25 times 10^10 = 5,0625 times 10^8 + 40000 approx 5,0625 times 10^8
(k - 122500 times 10)^2 + 19600 times 10^2 = 2,25 times 10^10
(k - 1,225 times 10^6)^2 + 1,96 times 10^6 = 2,25 times 10^10
Isso não bate, pois (k - 1,225 times 10^6)^2 = 2,25 times 10^10 - 1,96 times 10^6 approx 2,25 times 10^10 . Portanto, k - 1,225 times 10^6 approx raiz2,25 times 10^10 approx 1,5 times 10^5 está errado.
Vamos tentar k approx 1,5 times 10^5 + 1,225 times 10^6 = 1,375 times 10^6 , N/m :
Primeira equação:
6,25 times 10^10 = (1,375 times 10^6 - 250000 times 10)^2 + 40000 times 10^2
6,25 times 10^10 = (1,375 times 10^6 - 2,5 times 10^6)^2 + 4 times 10^6
6,25 times 10^10 = (-1,125 times 10^6)^2 + 4 times 10^6
6,25 times 10^10 = 1,265625 times 10^12 + 4 times 10^6 approx 1,265625 times 10^12
Agora, na segunda equação:
Ainda não bate. Vemos que precisamos de uma abordagem mais eficiente ou talvez um erro na simplificação anterior. Dado o nível de complexidade, é melhor usar métodos numéricos ou ferramentas de cálculo para resolver esse sistema de equações.

Resposta

Dado o alto grau de complexidade das equações obtidas, a resolução adequada requer o uso de métodos numéricos ou ferramentas computacionais para encontrar os valores precisos da massa e da rigidez do oscilador. Recomenda-se utilizar software como MATLAB, Python ou calculadoras gráficas avançadas para resolver esse sistema de equações não lineares.

Exercícios relacionados