Um oscilador harmônico não amortecido sofre a atuação de uma força de magnitude F0=30 N. Quando a freqüência com que à força é aplicada é omega=350 rad / s, a amplitude de vibração é 0,2 mm e quando a freqüência muda para omega=500 rad / s a amplitude se torna 1,2 mm. Determinar a massa e a rigidez do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um oscilador harmônico não amortecido que está sendo acionado por uma força periódica. A gente precisa encontrar a massa ( m) e a rigidez ( k) do sistema. Para isso, vamos usar as informações dadas sobre a amplitude das vibrações em duas frequências diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a amplitude ( A) de uma vibração em um oscilador forçado:
A = F0|k - momega^2|
Aqui, F0 é a magnitude da força aplicada, omega é a frequência angular, m é a massa, e k é a rigidez do sistema.

Passo 3

Temos duas situações com duas frequências diferentes. Vamos chamar a primeira frequência de omega1 = 350 , rad/s com amplitude A1 = 0,2 , mm, e a segunda frequência de omega2 = 500 , rad/s com amplitude A2 = 1,2 , mm. Vamos converter as amplitudes para metros para facilitar os cálculos:
A1 = 0,2 , mm = 0,0002 , m
A2 = 1,2 , mm = 0,0012 , m

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula da amplitude para cada frequência:
Para omega1:
0,0002 = 30|k - m cdot (350)^2|
Para omega2:
0,0012 = 30|k - m cdot (500)^2|

Passo 5

Vamos resolver essas equações para eliminar os valores absolutos. Como a amplitude aumenta quando a frequência aumenta, isso sugere que k - momega^2 é negativo nos dois casos. Portanto, podemos remover o valor absoluto considerando o sinal negativo:
Para omega1:
0,0002 = 30m cdot (350)^2 - k
Para omega2:
0,0012 = 30m cdot (500)^2 - k

Passo 6

Vamos rearranjar as equações para isolar k:
Para omega1:
m cdot (350)^2 - k = 300,0002
m cdot 122500 - k = 150000
k = m cdot 122500 - 150000 (Eq 1)
Para omega2:
m cdot (500)^2 - k = 300,0012
m cdot 250000 - k = 25000
k = m cdot 250000 - 25000 (Eq 2)

Passo 7

Agora, temos duas expressões para k. Podemos igualar as Eq. 1 e Eq. 2:
m cdot 122500 - 150000 = m cdot 250000 - 25000

Passo 8

Vamos resolver para m:
m cdot 122500 - 150000 = m cdot 250000 - 25000
m cdot 122500 - m cdot 250000 = 150000 - 25000
m cdot (-127500) = 125000
m = 125000-127500
m = -0,9804 , kg
Como massa não pode ser negativa, percebemos que houve um erro de sinal na nossa suposição inicial. Vamos corrigir isso considerando que k - momega^2 é positivo.

Passo 9

Refazendo as equações sem o sinal negativo:
Para omega1:
0,0002 = 30k - m cdot (350)^2
k - m cdot 122500 = 300,0002
k - m cdot 122500 = 150000 (Eq 1)
Para omega2:
0,0012 = 30k - m cdot (500)^2
k - m cdot 250000 = 300,0012
k - m cdot 250000 = 25000 (Eq 2)

Passo 10

Igualando Eq. 1 e Eq. 2:
k - m cdot 122500 = k - m cdot 250000 - 125000
Cancelando k dos dois lados:
- m cdot 122500 = - m cdot 250000 - 125000
- m cdot 122500 + m cdot 250000 = -125000
m cdot 127500 = -125000
m = -125000127500
m approx -0,9804 , kg
Ainda está dando negativa, indicando que nossa primeira suposição estava correta e a massa não pode ser negativa. O erro está na interpretação do sinal. Na verdade, a amplitude aumenta com a frequência, o que ocorre quando a força está fora de fase com a resistência do sistema. Portanto, precisamos reavaliar as equações considerando o correto relacionamento entre k e momega^2.

Passo 11

Vamos considerar que k < momega^2 para que o denominador seja negativo e, assim, a amplitude seja positiva:
Para omega1:
A1 = F0momega1^2 - k
Para omega2:
A2 = F0momega2^2 - k
Substituindo os valores:
Para omega1:
0,0002 = 30m cdot 122500 - k
Para omega2:
0,0012 = 30m cdot 250000 - k

Passo 12

Rearranjando as equações:
Para omega1:
m cdot 122500 - k = 300,0002
m cdot 122500 - k = 150000
k = m cdot 122500 - 150000 (Eq 1)
Para omega2:
m cdot 250000 - k = 300,0012
m cdot 250000 - k = 25000
k = m cdot 250000 - 25000 (Eq 2)

Passo 13

Igualando Eq. 1 e Eq. 2:
m cdot 122500 - 150000 = m cdot 250000 - 25000
m cdot 122500 - m cdot 250000 = 150000 - 25000
m cdot (-127500) = 125000
m = 125000-127500
m approx -0,9804 , kg
Ainda está dando negativa. Isso indica que, na verdade, nossa interpretação estava correta e que a amplitude aumenta quando o denominador diminui em valor absoluto, mas precisamos reconsiderar o modelo. Provavelmente, há um erro nos dados ou na aplicação da fórmula para o sistema não amortecido.

Resposta

Com base nos cálculos, encontramos uma massa negativa, o que não é fisicamente possível. Isso sugere que pode haver um erro nos dados fornecidos ou na aplicação da fórmula para um sistema não amortecido. Recomendo revisar os dados do exercício ou considerar se há algum fator de amortecimento não mencionado inicialmente.

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