Um oscilador harmônico não amortecido sofre a atuação de uma força de magnitude
. Quando a freqüência com que à força é aplicada é
, a amplitude de vibração é
e quando a freqüência muda para
a amplitude se torna
. Determinar a massa e a rigidez do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um oscilador harmônico não amortecido que está sendo acionado por uma força periódica. A gente precisa encontrar a massa (
) e a rigidez (
) do sistema. Para isso, vamos usar as informações dadas sobre a amplitude das vibrações em duas frequências diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a amplitude (
) de uma vibração em um oscilador forçado:
Aqui,
é a magnitude da força aplicada,
é a frequência angular,
é a massa, e
é a rigidez do sistema.
Passo 3
Temos duas situações com duas frequências diferentes. Vamos chamar a primeira frequência de
com amplitude
, e a segunda frequência de
com amplitude
. Vamos converter as amplitudes para metros para facilitar os cálculos:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores na fórmula da amplitude para cada frequência:
Para
:
Para
:
Passo 5
Vamos resolver essas equações para eliminar os valores absolutos. Como a amplitude aumenta quando a frequência aumenta, isso sugere que
é negativo nos dois casos. Portanto, podemos remover o valor absoluto considerando o sinal negativo:
Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos rearranjar as equações para isolar
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, temos duas expressões para
. Podemos igualar as Eq. 1 e Eq. 2:
Passo 8
Vamos resolver para
:
Como massa não pode ser negativa, percebemos que houve um erro de sinal na nossa suposição inicial. Vamos corrigir isso considerando que
é positivo.
Passo 9
Refazendo as equações sem o sinal negativo:
Para
:
Para
:
Passo 10
Igualando Eq. 1 e Eq. 2:
Cancelando
dos dois lados:
Ainda está dando negativa, indicando que nossa primeira suposição estava correta e a massa não pode ser negativa. O erro está na interpretação do sinal. Na verdade, a amplitude aumenta com a frequência, o que ocorre quando a força está fora de fase com a resistência do sistema. Portanto, precisamos reavaliar as equações considerando o correto relacionamento entre
e
.
Passo 11
Vamos considerar que
para que o denominador seja negativo e, assim, a amplitude seja positiva:
Para
:
Para
:
Substituindo os valores:
Para
:
Para
:
Passo 12
Rearranjando as equações:
Para
:
Para
:
Passo 13
Igualando Eq. 1 e Eq. 2:
Ainda está dando negativa. Isso indica que, na verdade, nossa interpretação estava correta e que a amplitude aumenta quando o denominador diminui em valor absoluto, mas precisamos reconsiderar o modelo. Provavelmente, há um erro nos dados ou na aplicação da fórmula para o sistema não amortecido.
Resposta
Com base nos cálculos, encontramos uma massa negativa, o que não é fisicamente possível. Isso sugere que pode haver um erro nos dados fornecidos ou na aplicação da fórmula para um sistema não amortecido. Recomendo revisar os dados do exercício ou considerar se há algum fator de amortecimento não mencionado inicialmente.