(OSCILADOR HARMÔNICO) Assuma a seguinte relação
(I) Derive os dois lados da relação acima com respeito a e mostre que
(II) Considere a função
.
Encontre o A que normaliza esta função de onda.
(III) Considere um oscilador harmônico cuja energia segundo a teoria clássica é dada por
.
Então na versão quântica do oscilador, a função de onda para um estado de energia definida obedece
.
Mostre que a função de onda presente no item II deste problema satisfaz esta equação .
(IV) Encontre para este estado e o definido acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Oscilador Harmônico! O problema está dividido em quatro partes:
I. Derivar uma relação de uma integral envolvendo .
II. Encontrar a constante que normaliza uma função de onda específica.
III. Mostrar que essa função de onda satisfaz a equação de Schrödinger para energia .
IV. Calcular o valor esperado e a incerteza para esse estado.
Para resolver tudo isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo (derivadas e integrais), física quântica básica sobre funções de onda e normalização, e um pouco de álgebra. Vamos lá!

Passo 2

Parte I: Derivar a relação da integral
Primeiro, temos a integral:
Queremos derivar ambos os lados dessa expressão em relação a e mostrar que:
Passo a passo:
  1. Derivando a integral:
    Vamos derivar a integral em relação a . Como está dentro da exponencial, usamos a derivada sob o sinal integral:
  2. Calculando a derivada dentro da integral:
    Então:
  3. Derivando o lado direito da igualdade original:
  4. Igualando as duas expressões derivadas:
  5. Simplificando os sinais negativos:
E assim mostramos a relação desejada!

Passo 3

Parte II: Normalizar a função de onda
Normalizar a função de onda significa ajustar a constante de modo que a probabilidade total de encontrar a partícula seja 1. Matematicamente:
Passo a passo:
  1. Calculando :
  2. Impondo a condição de normalização:
  3. Fatorando :
  4. Identificando a integral como a da parte I:
    Aqui, comparando com a integral , temos .
    Então:
  5. Substituindo de volta na equação de normalização:
  6. Resolvendo para :
Então, a constante de normalização é:

Passo 4

Parte III: Verificar que a função de onda satisfaz a equação de Schrödinger com
Queremos mostrar que:
Para .
Passo a passo:
  1. Calculando a primeira derivada de :
  2. Calculando a segunda derivada de :
  3. Substituindo na equação de Schrödinger:
    Vamos montar cada termo:
    • Termo cinético:
    • Termo potencial:
  4. Somando os dois termos:
  5. Comparando com o lado direito da equação:
    Portanto, , como queríamos mostrar.

Passo 5

Parte IV: Calcular e para este estado
Queremos encontrar o valor esperado de e a incerteza , onde:
E,
Passo a passo:
  1. Calculando :
    Devido à simetria da função de onda (paridade par), sabemos que .
  2. Calculando :
    Já na Parte I, mostramos que:
    Aqui, , então .
    Portanto:
    (Usamos que da Parte II)
  3. Calculando :
    Já que :

Resposta

I. A integral derivada resulta em:
II. A constante de normalização é:
III. A função de onda satisfaz a equação de Schrödinger com .
IV. O valor esperado e a incerteza são:

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