(OSCILADOR HARMÔNICO) Assuma a seguinte relação
(I) Derive os dois lados da relação acima com respeito a
e mostre que
(II) Considere a função
.
Encontre o A que normaliza esta função de onda.
(III) Considere um oscilador harmônico cuja energia segundo a teoria clássica é dada por
.
Então na versão quântica do oscilador, a função de onda para um estado de energia definida obedece
.
Mostre que a função de onda presente no item II deste problema satisfaz esta equação
.
(IV) Encontre
para este estado e o
definido acima.
Encontre o A que normaliza esta função de onda.
(III) Considere um oscilador harmônico cuja energia segundo a teoria clássica é dada por
Então na versão quântica do oscilador, a função de onda para um estado de energia definida obedece
Mostre que a função de onda presente no item II deste problema satisfaz esta equação
(IV) Encontre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Oscilador Harmônico! O problema está dividido em quatro partes:
I. Derivar uma relação de uma integral envolvendo
.
II. Encontrar a constante
que normaliza uma função de onda específica.
III. Mostrar que essa função de onda satisfaz a equação de Schrödinger para energia
.
IV. Calcular o valor esperado
e a incerteza
para esse estado.
Para resolver tudo isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo (derivadas e integrais), física quântica básica sobre funções de onda e normalização, e um pouco de álgebra. Vamos lá!
Passo 2
Parte I: Derivar a relação da integral
Primeiro, temos a integral:
Queremos derivar ambos os lados dessa expressão em relação a
e mostrar que:
Passo a passo:
-
Derivando a integral:
Vamos derivar a integral em relação a. Como está dentro da exponencial, usamos a derivada sob o sinal integral: -
Calculando a derivada dentro da integral:Então:
-
Derivando o lado direito da igualdade original:
-
Igualando as duas expressões derivadas:
-
Simplificando os sinais negativos:
E assim mostramos a relação desejada!
Passo 3
Parte II: Normalizar a função de onda
Normalizar a função de onda significa ajustar a constante
de modo que a probabilidade total de encontrar a partícula seja 1. Matematicamente:
Passo a passo:
-
Calculando
: -
Impondo a condição de normalização:
-
Fatorando
: -
Identificando a integral como a da parte I:Aqui, comparando com a integral
, temos . Então: -
Substituindo de volta na equação de normalização:
-
Resolvendo para
:
Então, a constante de normalização é:
Passo 4
Parte III: Verificar que a função de onda satisfaz a equação de Schrödinger com
Queremos mostrar que:
Para
.
Passo a passo:
-
Calculando a primeira derivada de
: -
Calculando a segunda derivada de
: -
Substituindo na equação de Schrödinger:Vamos montar cada termo:
-
Termo cinético:
-
Termo potencial:
-
-
Somando os dois termos:
-
Comparando com o lado direito da equação:Portanto,
, como queríamos mostrar.
Passo 5
Parte IV: Calcular
e
para este estado
Queremos encontrar o valor esperado de
e a incerteza
, onde:
E,
Passo a passo:
-
Calculando
: Devido à simetria da função de onda (paridade par), sabemos que. -
Calculando
: Já na Parte I, mostramos que:Aqui,, então . Portanto:(Usamos queda Parte II) -
Calculando
: Já que:
Resposta
I. A integral derivada resulta em:
II. A constante de normalização é:
III. A função de onda
satisfaz a equação de Schrödinger com
.
IV. O valor esperado e a incerteza são: