(OSCILADOR HARMÔNICO) Assuma a seguinte relação
integral-infty^infty e^-alpha x^2 d x=raizpialpha
(I) Derive os dois lados da relação acima com respeito a alpha e mostre que
integral-infty^infty x^2 e^-alpha x^2 d x=12 alpha raizpialpha
(II) Considere a função
psi(x)=A e^-m omega x^2 / 2 hbar.
Encontre o A que normaliza esta função de onda.
(III) Considere um oscilador harmônico cuja energia segundo a teoria clássica é dada por
E=p^22 m+12 m omega^2 x^2.
Então na versão quântica do oscilador, a função de onda para um estado de energia definida obedece
-hbar^22 m d^2 psiE(x)d x^2+12 m omega^2 x^2 psiE(x)=E psiE(x).
Mostre que a função de onda presente no item II deste problema satisfaz esta equação com E=hbar omega2.
(IV) Encontre lang<= x^2rang<= para este estado e o De definido acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Oscilador Harmônico! O problema está dividido em quatro partes:
I. Derivar uma relação de uma integral envolvendo .
II. Encontrar a constante que normaliza uma função de onda específica.
III. Mostrar que essa função de onda satisfaz a equação de Schrödinger para energia .
IV. Calcular o valor esperado e a incerteza para esse estado.
Para resolver tudo isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo (derivadas e integrais), física quântica básica sobre funções de onda e normalização, e um pouco de álgebra. Vamos lá!

Passo 2

Parte I: Derivar a relação da integral
Primeiro, temos a integral:
integral-infty^infty e^-alpha x^2 dx = raizpialpha
Queremos derivar ambos os lados dessa expressão em relação a integral-infty^infty x^2 e^-alpha x^2 dx = 12 alpha raizpialpha e mostrar que:
ddalpha integral-infty^infty e^-alpha x^2 dx = integral-infty^infty ddalpha e^-alpha x^2 dx
Passo a passo:
  1. Derivando a integral:
    Vamos derivar a integral em relação a ddalpha e^-alpha x^2 = -x^2 e^-alpha x^2 . Como ddalpha integral-infty^infty e^-alpha x^2 dx = -integral-infty^infty x^2 e^-alpha x^2 dx está dentro da exponencial, usamos a derivada sob o sinal integral:
    ddalpha raizpialpha = raizpi cdot ddalpha alpha^-1/2 = raizpi cdot (-12) alpha^-3/2 = -12 raizpialpha^3
  2. Calculando a derivada dentro da integral:
    -integral-infty^infty x^2 e^-alpha x^2 dx = -12 raizpialpha^3
    Então:
    integral-infty^infty x^2 e^-alpha x^2 dx = 12 raizpialpha^3 = 12 alpha raizpialpha
  3. Derivando o lado direito da igualdade original:
  4. Igualando as duas expressões derivadas:
  5. Simplificando os sinais negativos:
E assim mostramos a relação desejada!

Passo 3

Parte II: Normalizar a função de onda integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1
Normalizar a função de onda significa ajustar a constante |psi(x)|^2 = A^2 e^-m omega x^2 / hbar de modo que a probabilidade total de encontrar a partícula seja 1. Matematicamente:
integral-infty^infty A^2 e^-m omega x^2 / hbar dx = 1
Passo a passo:
  1. Calculando A^2 integral-infty^infty e^-m omega x^2 / hbar dx = 1 :
    integral-infty^infty e^-m omega x^2 / hbar dx = raizpi hbarm omega
  2. Impondo a condição de normalização:
    A^2 raizpi hbarm omega = 1
  3. Fatorando A^2 = raizm omegapi hbar :
    A = (m omegapi hbar)^1/4
  4. Identificando a integral como a da parte I:
    Aqui, comparando com a integral A = (m omegapi hbar)^1/4 , temos .
    Então:
  5. Substituindo de volta na equação de normalização:
  6. Resolvendo para :
Então, a constante de normalização é:

Passo 4

Parte III: Verificar que a função de onda satisfaz a equação de Schrödinger com -hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2 + 12 m omega^2 x^2 psi(x) = E psi(x)
Queremos mostrar que:
psi(x) = A e^-m omega x^2 / 2 hbar
Para d psid x = A cdot (-m omegahbar x) e^-m omega x^2 / 2 hbar = -m omegahbar x psi(x) .
Passo a passo:
  1. Calculando a primeira derivada de d^2 psid x^2 = dd x (-m omegahbar x psi(x)) = -m omegahbar psi(x) + (m omegahbar)^2 x^2 psi(x) :
    -hbar^22 m d^2 psid x^2 = -hbar^22 m (-m omegahbar psi(x) + (m omegahbar)^2 x^2 psi(x)) = hbar omega2 psi(x) - m omega^2 x^22 psi(x)
    12 m omega^2 x^2 psi(x)
  2. Calculando a segunda derivada de (hbar omega2 psi(x) - m omega^2 x^22 psi(x)) + 12 m omega^2 x^2 psi(x) = hbar omega2 psi(x) :
    hbar omega2 psi(x) = E psi(x)
  3. Substituindo na equação de Schrödinger:
    Vamos montar cada termo:
    • Termo cinético:
    • Termo potencial:
  4. Somando os dois termos:
  5. Comparando com o lado direito da equação:
    Portanto, , como queríamos mostrar.

Passo 5

Parte IV: Calcular lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty x^2 |psi(x)|^2 dx e De para este estado
Queremos encontrar o valor esperado de integral-infty^infty x^2 e^-alpha x^2 dx = 12 alpha raizpialpha e a incerteza lang<= x^2 rang<= = A^2 cdot 12 alpha raizpialpha = A^2 cdot hbar2 m omega raizpi hbarm omega = hbar2 m omega , onde:
De
E,
Passo a passo:
  1. Calculando :
    Devido à simetria da função de onda (paridade par), sabemos que .
  2. Calculando :
    Já na Parte I, mostramos que:
    Aqui, , então .
    Portanto:
    (Usamos que da Parte II)
  3. Calculando :
    Já que :

Resposta

I. A integral derivada resulta em:
integral-infty^infty x^2 e^-alpha x^2 dx = 12 alpha raizpialpha
II. A constante de normalização é:
A = (m omegapi hbar)^1/4
III. A função de onda lang<= x^2 rang<= = hbar2 m omega satisfaz a equação de Schrödinger com De.
IV. O valor esperado e a incerteza são:

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