Uma partícula em um anel de circunferência L(x= pm L / 2) tem função de onda dada por
psi(x)=A |x|
psi(x)=0 |x|>a
Qual seria uma estimativa razoável para De ?
Normalize psi e mostre que
|Cp|^2=2 aL sin ^2 ZZ^2 onde Z=p ahbar, sendo Cp os coeficientes de uma expansão de psi(x) em termos de funções de onda de momento definido.

Passo 1

Beleza, vamos de quebra-cabeça de física quântica! A gente tem uma partícula se mexendo num anel com circunferência . A função de onda dela, que descreve onde ela pode estar, é quando e zero fora desse intervalo. A tarefa aqui é estimar a incerteza na posição , normalizar a função de onda e mostrar uma expressão para , que são os coeficientes na expansão da função de onda em termos de funções com momento definido. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, para estimar , vamos pensar no que a função de onda nos diz. A partícula está distribuída uniformemente dentro de e zero fora. Isso significa que a “largura” onde a partícula pode estar é de . Em termos de incerteza de posição, uma estimativa razoável é que é proporcional a . Então, podemos dizer que .

Passo 3

Agora, vamos normalizar a função de onda integral-L/2^L/2 |psi(x)|^2 dx = 1 . Normalizar significa ajustar o valor de integral-a^a |A|^2 dx = |A|^2 cdot 2a = 1 de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o anel seja 1. Matematicamente, isso é:
|A|^2 = 12a Rightarrow A = 1raiz2a
Como para e zero caso contrário, a integral fica:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos encontrar os coeficientes psi(x) = sump Cp e^ipx/hbar na expansão da função de onda em termos de funções de onda com momento definido. A expansão geral é:
Cp = 1L integral-a^a A e^-ipx/hbar dx
Para encontrar Cp = 1L raiz2a integral-a^a e^-ipx/hbar dx = 2AL sin(Z)Z onde Z = p ahbar , usamos a integral do produto de |Cp|^2 = ( 2AL )^2 sin^2(Z)Z^2 = 2aL sin^2(Z)Z^2 com a função de onda de momento :
Substituindo :
Então, o módulo ao quadrado de fica:

Resposta

Portanto, uma estimativa razoável para |Cp|^2 = 2aL sin^2(Z)Z^2 onde Z = p ahbar é aproximadamente . Além disso, após normalizar a função de onda, mostramos que os coeficientes são dados por:

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