Uma partícula em um anel de circunferência
tem função de onda dada por
Qual seria uma estimativa razoável para
?
Normalize
e mostre que
onde
, sendo
os coeficientes de uma expansão de
em termos de funções de onda de momento definido.
Qual seria uma estimativa razoável para
Normalize
Passo 1
Beleza, vamos de quebra-cabeça de física quântica! A gente tem uma partícula se mexendo num anel com circunferência
. A função de onda dela, que descreve onde ela pode estar, é
quando
e zero fora desse intervalo. A tarefa aqui é estimar a incerteza na posição
, normalizar a função de onda e mostrar uma expressão para
, que são os coeficientes na expansão da função de onda em termos de funções com momento definido. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, para estimar
, vamos pensar no que a função de onda nos diz. A partícula está distribuída uniformemente dentro de
e zero fora. Isso significa que a “largura” onde a partícula pode estar é de
. Em termos de incerteza de posição, uma estimativa razoável é que
é proporcional a
. Então, podemos dizer que
.
Passo 3
Agora, vamos normalizar a função de onda
. Normalizar significa ajustar o valor de
de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o anel seja 1. Matematicamente, isso é:
Como
para
e zero caso contrário, a integral fica:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os coeficientes
na expansão da função de onda em termos de funções de onda com momento definido. A expansão geral é:
Para encontrar
, usamos a integral do produto de
com a função de onda de momento
:
Substituindo
:
Então, o módulo ao quadrado de
fica:
Resposta
Portanto, uma estimativa razoável para
é aproximadamente
. Além disso, após normalizar a função de onda, mostramos que os coeficientes
são dados por: