Uma partícula em um anel de circunferência tem função de onda dada por


Qual seria uma estimativa razoável para ?
Normalize e mostre que
onde , sendo os coeficientes de uma expansão de em termos de funções de onda de momento definido.

Passo 1

Beleza, vamos de quebra-cabeça de física quântica! A gente tem uma partícula se mexendo num anel com circunferência . A função de onda dela, que descreve onde ela pode estar, é quando e zero fora desse intervalo. A tarefa aqui é estimar a incerteza na posição , normalizar a função de onda e mostrar uma expressão para , que são os coeficientes na expansão da função de onda em termos de funções com momento definido. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, para estimar , vamos pensar no que a função de onda nos diz. A partícula está distribuída uniformemente dentro de e zero fora. Isso significa que a “largura” onde a partícula pode estar é de . Em termos de incerteza de posição, uma estimativa razoável é que é proporcional a . Então, podemos dizer que .

Passo 3

Agora, vamos normalizar a função de onda . Normalizar significa ajustar o valor de de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o anel seja 1. Matematicamente, isso é:
Como para e zero caso contrário, a integral fica:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos encontrar os coeficientes na expansão da função de onda em termos de funções de onda com momento definido. A expansão geral é:
Para encontrar , usamos a integral do produto de com a função de onda de momento :
Substituindo :
Então, o módulo ao quadrado de fica:

Resposta

Portanto, uma estimativa razoável para é aproximadamente . Além disso, após normalizar a função de onda, mostramos que os coeficientes são dados por:

Exercícios relacionados

Do último problema
onde a função é uma função da variável contínua assim como é função da variável discreta que somente assume valores quantizados.
Mostre que
soma à unidade no limite de grande.
Mostre que no caso de ser real, então .
Considere a seguinte função de onda para uma partícula em um anel, .
Encontre os possíveis valores de p e as correspondentes probabilidades de obtê-los. Lembre-se que as funções de onda de momento definido têm a forma .
(OSCILADOR HARMÔNICO) Assuma a seguinte relação
(I) Derive os dois lados da relação acima com respeito a e mostre que
(II) Considere a função
.
Encontre o A que normaliza esta função de onda.
(III) Considere um oscilador harmônico cuja energia segundo a teoria clássica é dada por
.
Então na versão quântica do oscilador, a função de onda para um estado de energia definida obedece
.
Mostre que a função de onda presente no item II deste problema satisfaz esta equação .
(IV) Encontre para este estado e o definido acima.