Considere a seguinte função de onda para uma partícula em um anel, psi(x)=5 cos ^2(2 pi x / L)+2 sin (4 pi x / L).
Encontre os possíveis valores de p e as correspondentes probabilidades de obtê-los. Lembre-se que as funções de onda de momento definido têm a forma psip(x)=A Exp[i p x / hbar].

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de onda para uma partícula em um anel, dada por:
psi(x) = 5 cos^2(2pi xL) + 2 sin(4pi xL)
O objetivo é encontrar os possíveis valores de momento e as probabilidades de obter cada um deles. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções de onda e quantização de momento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função de onda. Usaremos a identidade trigonométrica para cos^2theta = 1 + cos(2theta)2 :
5 cos^2(2pi xL) = 5 cdot 1 + cos(4pi xL)2 = 52 + 52 cos(4pi xL)
Aplicando isso ao termo :

Passo 3

Substituindo de volta na função de onda original:
psi(x) = 52 + 52 cos(4pi xL) + 2 sin(4pi xL)

Passo 4

Agora, vamos expressar os termos de cosseno e seno em termos de exponenciais usando a fórmula de Euler:
cos theta = e^itheta + e^-itheta2
sin theta = e^itheta - e^-itheta2i
Aplicando isso aos termos da função de onda:
52 cos(4pi xL) = 54(e^i 4pi xL + e^-i 4pi xL)
2 sin(4pi xL) = 22i(e^i 4pi xL - e^-i 4pi xL) = 1i(e^i 4pi xL - e^-i 4pi xL)

Passo 5

Agrupando os termos na função de onda:
psi(x) = 52 + (54 + 1i) e^i 4pi xL + (54 - 1i) e^-i 4pi xL

Passo 6

Sabemos que as funções de onda de momento definido têm a forma:
psip(x) = A e^i p x / hbar
Comparando com a nossa expressão para , identificamos os possíveis valores de momento :
  • (termo constante)
  • (do termo )
  • (do termo )

Passo 7

Agora, vamos calcular as probabilidades associadas a cada valor de . As probabilidades são dadas pelo quadrado do módulo dos coeficientes de cada função de onda de momento definido.
  • Para :
    • Coeficiente:
    • Probabilidade:
  • Para :
    • Coeficiente:
    • Probabilidade:
  • Para :
    • Coeficiente:
    • Probabilidade:

Resposta

Os possíveis valores de momento são:
p = 0, p = 4pi hbarL, e p = -4pi hbarL
Com as respectivas probabilidades:
P(p = 0) = 254, P(p = 4pi hbarL) = 4116, e P(p = -4pi hbarL) = 4116

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