Considere a seguinte função de onda para uma partícula em um anel, .
Encontre os possíveis valores de p e as correspondentes probabilidades de obtê-los. Lembre-se que as funções de onda de momento definido têm a forma .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de onda para uma partícula em um anel, dada por:
O objetivo é encontrar os possíveis valores de momento e as probabilidades de obter cada um deles. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções de onda e quantização de momento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função de onda. Usaremos a identidade trigonométrica para :
Aplicando isso ao termo :

Passo 3

Substituindo de volta na função de onda original:

Passo 4

Agora, vamos expressar os termos de cosseno e seno em termos de exponenciais usando a fórmula de Euler:
Aplicando isso aos termos da função de onda:

Passo 5

Agrupando os termos na função de onda:

Passo 6

Sabemos que as funções de onda de momento definido têm a forma:
Comparando com a nossa expressão para , identificamos os possíveis valores de momento :
  • (termo constante)
  • (do termo )
  • (do termo )

Passo 7

Agora, vamos calcular as probabilidades associadas a cada valor de . As probabilidades são dadas pelo quadrado do módulo dos coeficientes de cada função de onda de momento definido.
  • Para :
    • Coeficiente:
    • Probabilidade:
  • Para :
    • Coeficiente:
    • Probabilidade:
  • Para :
    • Coeficiente:
    • Probabilidade:

Resposta

Os possíveis valores de momento são:
Com as respectivas probabilidades:

Exercícios relacionados

Uma partícula em um anel de circunferência tem função de onda dada por


Qual seria uma estimativa razoável para ?
Normalize e mostre que
onde , sendo os coeficientes de uma expansão de em termos de funções de onda de momento definido.
Do último problema
onde a função é uma função da variável contínua assim como é função da variável discreta que somente assume valores quantizados.
Mostre que
soma à unidade no limite de grande.
(OSCILADOR HARMÔNICO) Assuma a seguinte relação
(I) Derive os dois lados da relação acima com respeito a e mostre que
(II) Considere a função
.
Encontre o A que normaliza esta função de onda.
(III) Considere um oscilador harmônico cuja energia segundo a teoria clássica é dada por
.
Então na versão quântica do oscilador, a função de onda para um estado de energia definida obedece
.
Mostre que a função de onda presente no item II deste problema satisfaz esta equação .
(IV) Encontre para este estado e o definido acima.
Dada a reação que ocorrem no acionamento dos airbags:
Se o airbag possui volume igual a 36 L e o gás nitrogênio está a uma pressão de , numa temperatura de , quantos gramas do serão decompostos?