Um oscilador harmônico simples no ponto x=0 gera uma onda em uma corda. O oscilador opera com uma frequência de 40 Hz e com uma amplitude de 3,0 cm. A corda possui uma densidade linear de 50 g / m e está esticada com uma tensão de 50 N . Escreva a função de onda dessa onda supondo que em t=0 o deslocamento do oscilador era igual a zero.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um oscilador harmônico simples na posição que gera uma onda em uma corda. Esse oscilador tem uma frequência de 40 Hz e uma amplitude de 3,0 cm. A corda tem uma densidade linear de 50 g/m e está esticada com uma tensão de 50 N. Precisamos escrever a função de onda dessa onda, assumindo que no tempo o deslocamento do oscilador era zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de ondas mecânicas em cordas, como amplitude, frequência, densidade linear, tensão, velocidade da onda, comprimento de onda, número de onda e a forma geral da função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos.
  • Amplitude
  • Densidade linear

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade da onda na corda. A velocidade v = raizTmu de uma onda em uma corda é dada pela fórmula:
v = raiz50 , N0,05 , kg/m = raiz1000 , m^2/s^2 = 31,62 , m/s
onde é a tensão e é a densidade linear.
Substituindo os valores:

Passo 4

Sabemos que a frequência omega = 2pi f é 40 Hz. Vamos encontrar a frequência angular omega = 2 times pi times 40 approx 251,33 , rad/s usando a relação:
Substituindo:

Passo 5

Em seguida, vamos determinar o comprimento de onda v = f lambda implies lambda = vf usando a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
lambda = 31,62 , m/s40 , Hz = 0,7905 , m
Substituindo os valores:

Passo 6

Com o comprimento de onda, podemos encontrar o número de onda k = 2pilambda usando a fórmula:
k = 2 times pi0,7905 approx 7,95 , rad/m
Substituindo:

Passo 7

Agora, vamos montar a função de onda geral. A forma geral de uma onda harmônica que se propaga ao longo do eixo y(x, t) = A sin(kx - omega t + phi) é:
Onde:
  • é a amplitude,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.

Passo 8

A questão diz que no tempo y(x=0, t=0) = 0 = A sin(phi) o deslocamento do oscilador era zero. Isso significa que:
Para que essa igualdade seja verdadeira, pode ser zero ou . Vamos escolher para simplificar.

Passo 9

Substituindo todos os valores na função de onda:
y(x, t) = 0,03 , m times sin(7,95 , x - 251,33 , t)

Resposta

A função de onda é dada por:
y(x, t) = 0,03 , m times sin(7,95 , x - 251,33 , t)

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